SAS数据分析经典-第36课因子分析.pdf

Unit36Stat.doc 商务数据分析 电子商务系列 第三十六课 因子分析 因子分析（Factor Analysis ）是主成分分析的推广，它也是从研究相关矩阵内部的依赖关 系出发，把一些具有错综复杂关系的变量归结为少数几个综合因子的一种多变量统计分析方 法。具体地说，就是要找出某个问题中可直接测量的、具有一定相关性的诸指标，如何受少 数几个在专业中有意义，又不可直接测量到，且相对对立的因子支配的规律，从而可用诸指 标的测定来间接确定诸因子的状态。 一、 何为因子分析 因子分析的目的是用有限个不可观察的潜在变量来解释原变量间的相关性或协方差关 系。在这里我们把不可观察的潜在变量称为公共因子 （common factor ）。在研究样品时，每个 样品需要检测很多指标，假设测得p 个指标，但是这p 个指标可能受到m ( m < p )个共同因 素的影响，再加上其他对这些指标有影响的因素。写成数学的形式就是： X a f a f  a f e  1 11 1 12 2 1m m 1 X 2 a21f 1 a22f 2 a2mf m e2  (36.1)   X a f a f a f e  p p 1 1 p 2 2 pm m p  利用矩阵记号有 X A f  e (36.2) p 1 P m m1 p 1 各个指标变量都受到f i 的影响，因此f i 称为公共因子，A 称为因子载荷矩阵，ei 是单变量 X i 所特有的因子，称为X i 的特殊因子（unique factor ）。设f 1 ，f 2 ，„，f m 分别是均值为 0 1 0 ，方差为 的随机变量，即D (f ) I ；特殊因子e ，e ，„，e 分别是均值为 ，方差 m 1 2 p 为d 2 ，d 2 ，„，d 2 的随机变量，即D(e) diag(d 2 ,d 2 ,,d 2 ) D ；各特殊因子之间 1 2 p 1 2 p 及特殊因子与公共因子之间都是相互独立的，即 Cov(e , e ) 0, i  j 及 Cov(e,f ) 0 。 i j 错误!未定义书签。是第 个变量在第 个公共因子上的负荷，从投影的角度看，a 就是X j i ji j 在坐标轴f i 上的投影。 主成份分析的目标是降维，而因子分析的目标是找出公共因素及特有的因素，即公共因 子与特殊因子。在主成份分析中，残差通常是彼此相关的。在公因子分析中，特殊因子起到 残差的作用，但被定义为彼