苏教版高中数学选修4-6欧拉定理与费马小定理.ppt

欧拉定理·费马小定理 费马小定理是初等数论四大定理（威尔逊定理，欧拉定理（数论中的欧拉定理），中国剩余定理(又称孙子定理)和费马小定理）之一，在初等数论中有着非常广泛和重要的应用。实际上，它是欧拉定理的一个特殊情况。 知识背景 我们知道模6的剩余类为： 0 mod 6,1 mod 6,2 mod 6, 3 mod 6,4 mod 6,5 mod 6. 其中剩余类1 mod 6,5 mod 6里的所有数均与6互素，我们称这两个剩余类为与6互素的剩余类。 给定模m，如果模m的一个剩余类里面的某个数与m互素，就把这个剩余类叫作一个与模m互素的剩余类。 新知学习 由此我们可知：在模3的剩余类中，1 mod 3,2 mod 3为与3互素的剩余类，在模4的剩余类中，1 mod 4,3 mod 4为与4互素的剩余类，等等。 我们已经知道，1 mod 6,5 mod 6为所有与6互素的剩余类，那么我们在这两个剩余类中任取一个数，例如1和5，则由这两个数组成的集合｛1,5｝，称为模6的一个简化剩余系。 新知学习 定义 在于模m互素的全部剩余类中，每一类中任取一数所组成的数的集合，叫作模m的一个简化剩余系。 不难得到：与模m互素的剩余类的个数是ψ（m），模m的每一简化剩余系是由与m互素的ψ（m）个对模m不同余的整数组成的。 新知学习 如果a1，a2，…，aψ（m）是模m的一个简化剩余系，并且（a，m）=1，那么aa1，aa2，…，aaψ（m）是也是模m的一个简化剩余系。 新知学习 欧拉定理 设m是一个大于1的整数，a是一个整数，且满足条件（a，m）=1，则有： a ≡1（mod m）. ψ（m） 新知学习 在欧拉定理中，若m是素数p，由ψ（P）=P-1 便得到： 费马小定理 设p为素数，且（p，a）=1，则有： a ≡1（mod P）. P-1 新知学习 典例分析 例1： 证明： 典例分析 解： 例2： 典例分析 这样的合数n存在，而且有无穷多个，其中最小的满足条件的合数n=341=11×31 （是从两个不同奇质数作乘积去试算出来的。） 事实上，由于210-1=1023=341×3 故 210≡1（mod341） 所以 2340≡134≡1（mod341）， 故341符合要求。 典例分析 典例分析 随堂练习 证明： 1、 谢谢欣赏！