第十章 无穷级数.ppt

例6.将函数 展开成 的幂级数. 解 知 即 若 内的展式已得到, 而级数 处仍收敛, 且 处连续, 则展式 处也成立. 由 说明 尤其是经过求导或求积后得到的展式,必须考虑在端点的情况. 例7.将函数 展开成 的幂级数. 解 两边积分得 因 所以 当 时, 收敛, 当 时, 收敛, 所以 例8.将函数 展开成 的幂级数. 解 两边积分得 当 时, 当 时, 发散, 收敛. 例9.将函数 展开成 的幂级数. 解 由 得 例10. 将函数 展开成 的幂级数. 解 例11. 将函数 展开成 的幂级数. 解 由 得 例12. 将函数 展开成 的幂级数. 解 由 且 得 利用函数的幂级数展开式进行近似计算 例1 计算 要求误差不超过 0.0001. 解 由二项展开式 取 四 、幂级数的应用举例 若取前两项和作为其近似值, 其误差(截断误差)为: 为了使“四舍五入”引起的误差(舍入误差)与截断误差之和 不超过 0.0001 ,计算时应取五位小数,然后再四舍五入. 说明 例2. 计算 的近似值,要求误差不超过 0.0001. 解 计算量太大,不可取. 令 得 例3. 计算 的近似值,误差不超过 0.0001. 解 例4 计算积分 的近似值，要求误差不超过0.0001 解 因 所给积分不是广义积分， 定义 则它在积分区间[0，1]上连续. 由 知 因 所以取前三项和作为积分的近似值. 例3.判定级数的敛散性,若收敛,指出是绝对收敛还是条件收敛? 解 对应的正项级数为 因为 所以 发散 所以有 故原级数收敛， 且为条件收敛。 定理8 设任意项级数 当 时,级数绝对收敛; 当 发散; 当 时,敛散性不定. 发散. 若由比值审敛法或根值审敛法判定 发散, 则可以断定 注意 例4. 判定级数的敛散性, 解 可见 ， 总之 ，级数当|x|1时，绝对收敛， 当 x =1时，条件收敛， |x|1或 x= --1时，发散. 发散. 收敛 一、函数项级数的概念 函数项级数： （1） 对确定的点 若 收敛， 称 为级数(1) 的一个收敛点 若 发散， 称 为级数(1) 的一个发散点 级数(1) 收敛点的全体称为它的收敛域. 第四节 函数项级数与 幂级数 对收敛域内每一点 和函数: 记 则 称 为余项. 例如, 二、幂级数及其收敛性 形如： 特别地 （1） （2） (1) 是关于 的幂级数， (2) 是关于 的幂级数. 例如,幂级数 当 时,它收敛于 当 时发散. 的收敛域为: (1).如果 l|x|1 ,( l ? 0) 对幂级数 因为由比值判别法得出 绝对收敛. (2).如果 l|x|1 , 发散 (3).如果 l|x|=1 , 可能收敛可能发散 2. 如果 l=0 , 对任何 x 都绝对收敛. 3. 如果 l=? , 对 x=0 收敛，对非零 x 都发散. 1. 如果 l ? 0 综上 若幂级数 不是仅在 一点收敛,也不是在整个数轴 上都收敛,则必有一个确定的正数 R存在,使得 当 时,幂级数绝对收敛; 当 时,幂级数发散; 当 时,幂级数可能收敛也可能发散; 正数 R称为幂级数 的收敛半径. 收敛区间为: 其中之一. 例如, 存在数R=1, 当 时 当 时 发散. 所以 的收敛半径为 收敛区间为 R=1, 定理2.(幂级数收敛半径的求法) 设 对于幂级数 (2) 其中 是(2)中相邻两项的系数. 则其收敛半径为: 例1. 求幂级数 的收敛半径与收敛区间. 解 所以 当 时, 发散; 当 时, 收敛 收敛区间为: 例2. 求幂级数 的收敛区间. 解 当 时, 收敛; 当 时, 收敛. 收敛区间为: 例3.求幂级数的收敛半径及收敛区间: 收敛区间为: 级数只在 x=0 处收敛. 例4. 求幂级数 的收敛区间. 解 令 则幂级数变为: 收敛半径 当 时, 收敛; 当 时, 发散. 收敛区间为: 即 即 所以,原级数的收敛区间为: 例5. 求幂级数 的收敛半径. 解 (利用正项级数的比值收敛法) 当 即 时, 级数收敛; 当 即 时, 级数发散 所以,收敛半径为 另解 令 则级数变为: 所以,原级数的收敛半径为: 三、幂级数的运算 设幂级数 的收敛半径分别为 则 且 1). 2). 其中 性质1. （1）四则运算 （2）分析运算 幂级数 在收敛区域 内,和函数 满足: 性质2 在 内连续; (2). 在 内可导,且可逐项求导; (3). 在 内可积,且可逐项求积; 逐项求导或逐项求积后所得幂级数具有与原级数相同的收敛 半径,但收敛区域可能改变,主要体现在端点处. 说明 (1) 例1. 求幂级数 在收敛区间 (-1,1) 内的和函数. 解 设 两边求导得 两边积分得 因 所以 例2. 求幂级数 内