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PAGE 1 - PAGE 13 - PAGE 1 第7章 微分方程 §7.5 可降阶的高阶微分方程 一、填空题 1．微分方程的通解是 。 2．微分方程－=x的通解是 。 3．微分方程的通解是 。 答：1. 2. 3． 二、求微分方程xy???y??0的通解? 解 令p?y?? 则原方程化为 x p??p?0? 即? 由一阶线性齐次方程的通解公式得 ? 即 ? 于是 ? 原方程的通解为 y?C1ln x?C2 ? 三、求微分方程y3 y???1?0满足初始条件y|x?1?1? y?|x?1?0的特解? 解 令p=y￠, 则, 原方程化为 , 即, 两边积分得 , 即. 由y|x=1=1, y￠|x=1=0得C1=-1, 从而, 分离变量得 , 两边积分得 ? 即? 由y|x=1=1得C2=-1, ? 从而原方程的通解为 . §7.6 高阶线性微分方程 一、判断题 1．设y1(x)，y2(x)，y3(x)是某个二阶齐次线性微分方程的三个解，且y1(x)，y2(x)，y3(x).线性无关， 则微分方程的通解为： （ √ ） 2．设y1(x)，y2(x) 是某个二阶齐次线性微分方程的二个特解，则 (c1 ，c2是任意常数)是该方程的通解。 （ ╳ ） 3．y=c1x2+c2x2lnx (c1 ，c2是任意常数)是方程的通解。 （ √ ） 二、选择题 1．下列方程中 为线性微分方程 （A） (B)y (C) (D) 2.已知函数y1=，y1=，则 （A）仅y1与y2线性相关 （B）仅y2与y3线性相关 （C）仅y1与y3线性相关 （D）它们两两线性相关 3．若y1和y2是二阶齐次线性方程+p(x)+y=0两个特解，c1，c2为任意常数，则y=c1y1+c2y2 (A)一定是该方程的通解 （B）是该方程的特解 （C）是该方程的解 （D）不一定是方程的解 4．下列函数中哪组是线性无关的 （A）lnx, lnx2 (B)1， lnx (C)x, ln2x (D)ln, lnx2 答：1.C 2.C 3.C 4.B 三、验证及都是方程y???4xy??(4x2?2)y?0的解? 并写出该方程的通解? 解 因为 ? ? 并且不恒为常数? 所以与是方程的线性无关解? 从而方程的通解为? §7.7 常系数齐次线性微分方程 一、判断题 1．方程的解线性无关。 （ √ ） 2．二阶常系数齐次线性微分方程任意两个解都线性无关。 （ ╳ ） 3．二阶常系数齐次线性微分方程无解。 （ ╳ ） 二、填空题 1．微分方程y???y??2y?0的通解是 。 2．微分方程的通解是 。 3．微分方程y???6y??13y?0?的通解是 。 4．y(4)?2y????y???0的通解是 。 5．微分方程y???4y??13y?0? y|x?0?0? y?|x?0?3?的特解是 。 1、y?C1ex?C2e?2x 2、 ? 3、 y?e?3x(C1cos2x?C2sin2x)? 4、 y?C1?C2x?C3ex?C4xex 5、y?e2xsin3x 三、选择题 1以y1=cosx,y2=sinx为特解的方程是 （A） (B) (C) (D) 2．微分方程2的通解是 （A）（B）（C） (D) 3．常微分方程，（其中是不等的系数），在初始条件=特解是 （A）y=0 (B)y= (C) （D） 4．是微分方程的一个特解，则此方程的通解是 （A） （B） （C） （D）