克莱姆法则讲解.ppt

高等代数 §克莱姆法则 授课题目 克莱姆法则 授课时数 课时 教学目标 掌握克莱姆法则，并能应用克莱 姆法则来求方程组的解 教学重点 : 法则的含意; 法则的应用 教学难点: 对法则局限性的理解与应用 现在来讨论一般线性方程组. 所谓一般线性 方程组是指形式为 一、线性方程组的概念 的方程组，其中 , , … , 代表 个未知量， 是方程的个数， ( , , … , , , , … , ) 称 为方程组的系数， ( , , … , ) 称为常数项. 方程中未知量的个数 与方程的个数 不一定相等. 系数 的第一个指标 表示它在第 个方程，第二 个指标 表示它是 系数.因为()含有个未知量，所以称为元线性方程组。 所谓方程组 , , … , 组成的有序数组 ( , , … , )，当 , , … , 分别用 , , … , 代入后，() 中每 个等式都变成恒等式. 方程组 () 的解的全体称为 的一个解就是指由 个数 它的解集合. 解方程组实际上就是找出它全部的 解，或者说，求出它的解集合. 如果两个方程组有 相同的解集合，它们就称为同解的. 关于线性方程组需要解决的问题有: 线性方程组是否有解?如果有解, 它有多少个解? 如何求出这些解? 本节只讨论方程的个数与未知量的个数相等（即）的情形 如果线性方程组　　　 (1) 的系数行列式 二、克莱姆法则 那么这个方程组有解，并且解是唯一，的可表示为 的元素用方程组（1）的常数项　　　　　代换　　　　　　　　　　　　 所得的一个 阶行列式，即 其中 是把行列式 中第 列 用常数项列替换 的第 列，其余列不变。 证明思路： ° 验证 满足各方程（存在性）； ° （）的 解定能表成形式 （唯一性）。 所用结果： 证 1° 将 Di 按第 i列展开 代入第1个方程的左端 将 左＝ （证＝) ( ) D按第1行展开 ＝0 ＝0 满足第个方程 类似验证第，…，个方程也满足。 是方程组（1）的解。 ° 由°知，（）有解， … … … …… 用的第列元素的代数余子式乘两边 这证明了（）有解。 对应相加整理 由定理和定理 证毕 说明： .克莱姆法则的三条结论 . 克莱姆法则的三个条件 （）待解的方程组是线性方程组； （）待解方程组未知数的个数与方程组的个数相等； （）待解的方程组的系数行列式不等于零. ° 有解 ° 唯一解 ° 解的公式 不足之处： 方程个数与未知数个数不等，或，不能用。 如果线性方程组（）无解或有两个不同的解，则它的系数行列式一定为零. 克莱姆法则的等价命题是： 思考：若 呢？ 第三章给出答案：可能无解，可能有无穷多个解！ 例：解线性方程组 点评： () 一共要计算个阶行列式，计算量大； 不如用初等变换简单（第三章介绍）。 () 理论价值高于计算价值。 常数项全为零的线性方程组称为齐次线性方 程组. 显然，齐次线性方程组总是有解的，因为 (, , … , ) 就是一个解，它称为零解. 对于齐次 线性方程组，我们关心的问题是，它除去零解以外 还有没有其他解，或者说，它有没有非零解. 对于方程个数与未知量个数相同的齐次线性方 程组，应用克拉默法则就有 二、齐次线性方程组克拉默法则 定理 如果齐次线性方程组 的系数行列式 ? ，那么它只有零解. 换句话说，如果它有非零解，则必有 . 现在只能得出有无非零解这种定性结果， 求非零解的方法在第三章介绍。 点评： 补例 若下列齐次线性方程组有非零解，为何值？ 解 思路：由定理知，方程组有非零解，则。 计算 令其为零 解 由方程组有非零解，则 即. 练习： 解 故方程组只有零解。 高等代数