高中数学解析几何知识点大总结.doc

PAGE 1 - 高中数学解析几何知识点大总结 第一部分:直线 直线的倾斜角与斜率 倾斜角α (1)定义：直线l向上的方向与x轴正向所成的角叫做直线的倾斜角。 (2)范围： 2.斜率：直线倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率. （1）.倾斜角为的直线没有斜率。 （2）.每一条直线都有唯一的倾斜角，但并不是每一条直线都存在斜率（直线垂直于轴时，其斜率不存在)，这就决定了我们在研究直线的有关问题时，应考虑到斜率的存在与不存在这两种情况，否则会产生漏解。 （3）设经过和两点的直线的斜率为， 则当时，；当时，；斜率不存在； 二、直线的方程 1.点斜式：已知直线上一点P（x0,y0）及直线的斜率k（倾斜角α）求直线的方程用点斜式：y-y0=k(x-x0) 注意：当直线斜率不存在时，不能用点斜式表示，此时方程为； 2.斜截式：若已知直线在轴上的截距（直线与y轴焦点的纵坐标）为，斜率为，则直线方程：；特别地，斜率存在且经过坐标原点的直线方程为： 注意：正确理解“截距”这一概念，它具有方向性，有正负之分，与“距离”有区别。 3.两点式：若已知直线经过和两点，且（则直线的方程：； 注意：①不能表示与轴和轴垂直的直线； ②当两点式方程写成如下形式时，方程可以适应在于任何一条直线。 4截距式：若已知直线在轴，轴上的截距分别是，（）则直线方程：； 注意：1）.截距式方程表不能表示经过原点的直线，也不能表示垂直于坐标轴的直线。 2）.横截距与纵截距相等的直线方程可设为x+y=a;横截距与纵截距互为相反数的直线方程可设为x-y=a 5一般式：任何一条直线方程均可写成一般式：；（不同时为零）；反之，任何一个二元一次方程都表示一条直线。 注意：①直线方程的特殊形式，都可以化为直线方程的一般式，但一般式不一定都能化为特殊形式，这要看系数是否为0才能确定。 ②指出此时直线的方向向量：，， （单位向量）；直线的法向量：；（与直线垂直的向量） 6(选修4-4)参数式（参数）其中方向向量为， 单位向量； ；； 点对应的参数为，则； （为参数）其中方向向量为， 的几何意义为；斜率为；倾斜角为。 两条直线的位置关系 位置关系 平行 ，且 (A1B2-A2B1=0) 重合 ，且 相交 垂直 设两直线的方程分别为：或；当或时它们相交，交点坐标为方程组或解； 注意：①对于平行和重合，即它们的方向向量（法向量）平行；如： 对于垂直，即它们的方向向量（法向量）垂直；如 ②若两直线的斜率都不存在，则两直线 平行 ；若一条直线的斜率不存在，另一直线的斜率为 0 ，则两直线垂直。 ③对于来说，无论直线的斜率存在与否，该式都成立。因此，此公式使用起来更方便． ④斜率相等时，两直线平行(或重合)；但两直线平行(或重合)时，斜率不一定相等，因为斜率有可能不存在。 四、两直线的交角 （1）到的角：把直线依逆时针方向旋转到与重合时所转的角；它是有向角，其范围是； 注意：①到的角与到的角是不一样的；②旋转的方向是逆时针方向；③绕“定点”是指两直线的交点。 （2）直线与的夹角：是指由与相交所成的四个角的最小角(或不大于直角的角)，它的取值范围是； （3）设两直线方程分别为： 或 ①若为到的角，或； ②若为和的夹角，则或； ③当或时，； 注意：①上述与有关的公式中，其前提是两直线斜率都存在，而且两直线互不垂直；当有一条直线斜率不存在时，用数形结合法处理。 ②直线到的角与和的夹角：或； 点到直线的距离公式： 1.点到直线的距离为：； 2.两平行线，的距离为：； 六、直线系： （1）设直线，，经过的交点的直线方程为（除去）； 如：①，即也就是过与的交点除去 的直线方程。 ②直线恒过一个定点 。 注意：推广到过曲线与的交点的方程为：； （2）与平行的直线为； （3）与垂直的直线为； 七、对称问题： （1）中心对称： ①点关于点的对称： 该点是两个对称点的中点，用中点坐标公式求解，点关于的对称点 ②直线关于点的对称： Ⅰ、在已知直线上取两点，利用中点公式求出它们关于已知点对称的两点的坐标，再由两点式求出直线方程； Ⅱ、求出一个对称点，在利用由点斜式得出直线方程； Ⅲ、利用点到直线的距离相等。求出直线方程。 如：求与已知直线关于点对称的直线的方程。 （2）轴对称： ①点关于直线对称： Ⅰ、点与对称点的中点在已知直线上，点与对称点连线斜率是已知直线斜率的负倒数。 Ⅱ、求出过该点与已知直线垂直的直线方程，然后解方程组求出直线的交点，在利用中点坐标公式求解。 如：求点关于直线对称的坐标。 ②直线关于直线对称：（设关于对称） Ⅰ、若相交，则到的角等于到的角；若，则，且与的距离相等。 Ⅱ、求出上两个点关于的对称