曲线的齿化与虚化-江西教师网.DOC

PAGE 5 - 有趣的曲线齿化与虚化 马跃进(江西省赣县教师进修学校,341100) ( HYPERLINK mailto:mayuejin60@163.com mayuejin60@163.com) 新课标高中数学必修4(北师大版)第一章三角函数中,有如下一道习题: 利用五点法或借助信息技术画出函数的图像． 无论是利用五点法，还是利用几何画板来画上述函数的图像，都是一道难度不大的习题，但笔者借助几何画板,画出了更多的形如: 的函数图像,发现它们均呈锯齿线形状.如图1为函数 图1（） 图1 的图像． 通过进一步探究，发现方程 的曲线具有下列性质: （1）在上曲线的齿数为； （2）齿长(齿尖到直线的距离)为； 图2（3）当时齿尖向下,时齿尖向上 图2 探究没有就此结束，我们尝试把方程 中的换为， 即变成方程 . 不妨取取，通过几何画板，画出其曲线为图2所示. 显然，图2把直线齿线化了，即方程，把直线齿线化了.因而可知，方程把直线齿线化了. 更有趣的是，上述结论可以进一步推广. 为叙述方便，我们给出如下定义： 若曲线，则曲线①为曲线的一种齿化曲线,称①为曲线的齿化曲线方程，为齿化函数. 图3如图3，分别为直线抛物线双曲线对数曲线的一种齿化曲线. 图3 可以写出它们从左到右的一个齿化曲线方程顺次为 （1）； （2）； （3）； （4）. 通过进一步探究发现，曲线的齿化函数并非只有上述这一种.事实上，只要确保是一个图像具有齿线形状的周期函数即可. 如均可. 图4如图4，分别为直线抛物线双曲线对数曲线的一种齿化曲线. 图4 可以写出它们从左到右的一个齿化曲线方程顺次为 （1）； （2）； （3）； （4）. 类比可以得到： 在极坐标系中，若曲线，则曲线 ②为曲线的一种齿化曲线,称②为曲线的齿化曲线方程, 为齿化函数. 利用几何画板，可以画出极坐标系中，圆的一种齿化曲线 图4. 图4 如图4所示，左图为 齿化曲线； 右图为齿化曲线. 上述齿线一周有20个齿，齿长为0.4,但形状不同. 如取齿化函数，可得到圆的一种齿化曲线 图5 . 图5 如图5所示，左图为 齿化曲线； 右图为齿化曲线. 上述齿线一周有20个齿，齿长为,形状略有不同. 这样，我们就得到两个非常漂亮的齿线,同时也无形之中给出了一种具有实用价值的设计圆形齿轮的简洁方法.依照这个方法完全可以根据轮齿的多少，齿长的大小等要求来设计齿轮. 如图6是极坐标系中,取齿化函数 图6 图6 的一些迷人的曲线的齿化曲线. 从左到右，可得出它们一个齿化曲线方程为 （1）; （2） （3） （4）. 图7如图7是极坐标系中,取齿化函数的上述相应迷人的曲线的齿化曲线 图7 从左到右，可得出它们一个齿化曲线方程为 （1）； （2）； （3）； （4）. 另外，如若我们注意到取函数，如取函数，则可由几何画板画出方程： （1）； （2）； （3）； 图8（4）的曲线. 图8 从图像上可以看出，这些曲线全被虚线化了.因此，可以认为，欲画出一曲线的虚线，只需在曲线方程（或）后，加上一个函数（），便可通过几何画板画出其曲线的虚线. 如图9自左到右,是极坐标系中,； ,被虚化的曲线,其虚化函数为. 本文发表在《中学数学教学》2010年第5期图9 图9