4.3 平面坐标系中几种常见变换.doc

实用标准文案 文档 4.3　平面坐标系中几种常见变换 4．3.1平面直角坐标系中的平移变换 课标解读 1.理解平移的意义，深刻认识一个平移就对应一个向量． 2.掌握平移公式，并能熟练运用平移公式简化函数的解析式. 1．平移 在平面内，将图形F上所有点按照同一个方向，移动同样长度，称为图形F的平移，若以向量a表示移动的方向和长度，也称图形F按向量a平移． 2．平移变换公式 设P(x，y)，向量a＝(h，k)，平移后的对应点P′(x′，y′)，则(x，y)＋(h，k)＝(x′，y′)或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＋h＝x′，,y＋k＝y′.)) 1．求平移后曲线的方程的步骤是什么？ 【提示】　步骤：(1)设平移前曲线上一点P的坐标为(x，y)，平移后的曲线上对应点P′的坐标为(x′，y′)； (2)写出变换公式eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x′＝x＋h，,y′＝y＋k，))并转化为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝x′－h，,y＝y′－k；)) (3)利用上述公式将原方程中的x，y代换； (4)按习惯，将所得方程中的x′，y′分别替换为x，y，即得所求曲线的方程． 2．在图形平移过程中，每一点都是按照同一方向移动同样的长度，你是如何理解的？ 【提示】　其一，平移所遵循的“长度”和“方向”正是向量的两个本质特征，因此，从向量的角度看，一个平移就是一个向量． 其二，由于图形可以看成点的集合，故认识图形的平移，就其本质来讲，就是要分析图形上点的平移. 平移变换公式的应用 　点M(8，－10)按a平移后的对应点M′的坐标为(－7,4)，求a. 【自主解答】　由平移公式得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(－7＝8＋h，,4＝－10＋k，)) 解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(h＝－15，,k＝14，))即a＝(－15,14)． 把点A(－2,1)按a＝(3,2)平移，求对应点A′的坐标(x′，y′)． 【解】　由平移公式得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x′＝－2＋3＝1，,y′＝1＋2＝3，))即对应点A′的坐标(1,3)． 平移变换公式在圆锥曲线中的应用 　求双曲线4x2－9y2－16x＋54y－29＝0的中心坐标、顶点坐标、焦点坐标与对称轴方程、准线方程和渐近线方程． 【思路探究】　把双曲线方程化为标准方程求解． 【自主解答】　将方程按x，y分别配方成4(x－2)2－9(y－3)2＝－36， 即eq \f(?y－3?2,4)－eq \f(?x－2?2,9)＝1. 令eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x′＝x－2，,y′＝y－3，))方程可化为eq \f(y′2,4)－eq \f(x′2,9)＝1. 双曲线eq \f(y′2,4)－eq \f(x′2,9)＝1的中心坐标为(0,0)，顶点坐标为(0,2)和(0，－2)，焦点坐标为(0，eq \r(13))和(0，－eq \r(13))，对称轴方程为x′＝0，y′＝0，准线方程为y′＝±eq \f(4,13)eq \r(13)，渐近线方程为eq \f(y′,2)±eq \f(x′,3)＝0. 根据公式eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝x′＋2，,y＝y′＋3))可得所求双曲线的中心坐标为(2,3)，顶点坐标为(2,5)和(2,1)，焦点坐标为(2,3＋eq \r(13))和(2,3－eq \r(13))，对称轴方程为x＝2，y＝3，准线方程为y＝3±eq \f(4\r(13),13)，渐近线方程为eq \f(y－3,2)±eq \f(x－2,3)＝0，即2x＋3y－13＝0和2x－3y＋5＝0. 几何量a，b，c，e，p决定了圆锥曲线的几何形状，它们的值与圆锥曲线的位置无关，我们将其称为位置不变量． 已知抛物线y＝x2＋4x＋7. (1)求抛物线顶点的坐标； (2)求将这条抛物线平移到顶点与坐标原点重合时的函数解析式． 【解】　(1)设抛物线y＝x2＋4x＋7的顶点O′的坐标为(h，k)，那么 h＝－eq \f(4,2)＝－2，k＝eq \f(4×7－42,4)＝3， 即这条抛物线的顶点O′的坐标为(－2,3)． (2)将抛物线y＝x2＋4x＋7平移， 使点O′(－2,3)与点O(0,0)重合，这种图形的变换可以看做是将其按向量eq \o(O′O,\s\up6(→))平移得到的，设eq \o(O′O,\s\up6(→))的坐标为(m，n)，那么 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(m＝0－?－2?＝2，,n＝0－3＝－3.))所以抛物