圆锥曲线的综合问题-分题型整理.docVIP

PAGE \* MERGEFORMAT 11 圆锥曲线的综合问题 ★知识梳理★ 1.直线与圆锥曲线C的位置关系 将直线的方程代入曲线C的方程，消去y或者消去x，得到一个关于x（或y）的方程 （1）交点个数 ①当 a=0或a≠0，⊿=0 时,曲线和直线只有一个交点; ②当 a≠0,⊿0时,曲线和直线有两个交点; ③ 当⊿0 时,曲线和直线没有交点; (2) 弦长公式： 2.对称问题： 曲线上存在两点关于已知直线对称的条件：①曲线上两点所在的直线与已知直线垂直（得出斜率）②曲线上两点所在的直线与曲线有两个公共点（⊿0）③曲线上两点的中点在对称直线上 3.求动点轨迹方程 ①轨迹类型已确定的，一般用待定系数法 ②动点满足的条件在题目中有明确的表述且轨迹类型未知的，一般用直接法 ③一动点随另一动点的变化而变化，一般用代入转移法 ★重难点突破★ 重点：掌握直线与圆锥曲线的位置关系的判断方法及弦长公式；掌握弦中点轨迹的求法； 理解和掌握求曲线方程的方法与步骤，能利用方程求圆锥曲线的有关范围与最值 难点：轨迹方程的求法及圆锥曲线的有关范围与最值问题 重难点：综合运用方程、函数、不等式、轨迹等方面的知识解决相关问题 1.体会“设而不求”在解题中的简化运算功能 ①求弦长时用韦达定理设而不求 ②弦中点问题用“点差法”设而不求 2.体会数学思想方法（以方程思想、转化思想、数形结合思想为主）在解题中运用 问题1：已知点为椭圆的左焦点，点，动点在椭圆上，则的最小值为 点拨：设为椭圆的右焦点，利用定义将转化为，在结合图形，用平面几何的知识解决。，当共线时最小，最小值为 ★热点考点题型探析★ 考点1 直线与圆锥曲线的位置关系 题型1：交点个数问题 [例1 ] 设抛物线的准线与x轴交于点Q，若过点Q的直线与抛物线有公共点，则直线l的斜率的取值范围是（　　） A． B．[－2，2] C．[－1，1] D．[－4，4] 【解题思路】解决直线与圆锥曲线的交点个数问题的通法为判别式法 [解析] 　易知抛物线的准线与x轴的交点为Q (-2 , 0)， 于是，可设过点Q (-2 , 0)的直线的方程为， 联立 其判别式为，可解得 ，应选C. 【名师指引】（1）解决直线与圆锥曲线的交点问题的方法：一是判别式法；二是几何法 （2）直线与圆锥曲线有唯一交点，不等价于直线与圆锥曲线相切，还有一种情况是平行于对称轴（抛物线）或平行于渐近线（双曲线） （3）联立方程组、消元后得到一元二次方程，不但要对进行讨论，还要对二次项系数是否为0进行讨论 【新题导练】 1已知圆与抛物线的准线相切，则的值等于（ ） A． B． C． D． 2.已知将圆上的每一点的纵坐标压缩到原来的,对应的横坐标不变,得到曲线C；设，平行于OM的直线在y轴上的截距为m(m≠0),直线与曲线C交于A、B两个不同点. (1)求曲线的方程；(2)求m的取值范围. 3. 求过点的直线，使它与抛物线仅有一个交点. 题型2：与弦中点有关的问题 [例2]已知点A、B的坐标分别是，.直线相交于点，且它们的斜率之积为－2. (Ⅰ)求动点M的轨迹方程; (Ⅱ)若过点的直线交动点M的轨迹于C、D两点, 且N为线段CD的中点，求直线的方程. 【解题思路】弦中点问题用“点差法”或联立方程组，利用韦达定理求解 [解析] (Ⅰ)设， 因为,所以化简得: (Ⅱ) 设 当直线⊥x轴时,直线的方程为,则,其中点不是N,不合题意 设直线的方程为 将代入得 …………(1) …………(2) (1)-(2)整理得: 直线的方程为 即所求直线的方程为 解法二: 当直线⊥x轴时,直线的方程为,则, 其中点不是N,不合题意. 故设直线的方程为,将其代入化简得 由韦达定理得, 又由已知N为线段CD的中点,得,解得, 将代入(1)式中可知满足条件. 此时直线的方程为,即所求直线的方程为 【名师指引】通过将C、D的坐标代入曲线方程，再将两式相减的过程，称为代点相减．这里，代点相减后，适当变形，出现弦PQ的斜率和中点坐标，是实现设而不求（即点差法）的关键．两种解法都要用到“设而不求”，它对简化运算的作用明显，用“点差法”解决弦中点问题更简洁 【新题导练】 椭圆的弦被点所平分，求此弦所在直线的方程 已知直线y=－x+1与椭圆相交于A、B两点，且线段AB的中点在直线L：x－2y=0上，求此椭圆的离心率 题型3：与弦长有关的问题 [例3]已知直线被抛物线截得的弦长为，为坐标原点． （1）求实数的值； （2）问点位于抛物线弧上何处时，△面积最大？ 【解题思路】用“韦达定理”求弦长；考虑△ 面积的最大值取得的条件 [解析]（1）将代入得，