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PAGE \* MERGEFORMAT 1
圆锥曲线综合练习
例1、椭圆内有一点P(1,1),一直线过点P与椭圆相交于P1、P2两点,弦P1P2被点P平分,求直线P1P2的方程。 (2x+3y-5=0)
备份:1.过椭圆内一点M(2,1)引一条弦,使弦被M平分,求此弦所在直线方程。
2.椭圆内有一点P(3,2)过点P的弦恰好以P为中点,求这弦所在直线的方程.
变式1、若椭圆与直线交于A、B两点,且,又M为AB的中点,若O为坐标原点,直线OM的斜率为,求该椭圆的方程。()
变式2、斜率为1的直线与双曲线相交于A、B两点,又AB中点的横坐标为1。
求直线的方程 (2)求线段AB的长 (1)y=x+1 (2)AB=
变式3、已知抛物线的焦点为F,过点F的直线与C相交于A、B两点。
(1)若(2)求|AB|的最小值
变式4、已知椭圆的中心在原点,焦点在轴上,离心率为,且经过点,直线交椭圆于不同的两点A,B.
(1)求椭圆的方程; (2)求的取值范围。
例2、已知椭圆:的一个顶点为,离心率为.直线与椭圆交于不同的两点M,N.
(Ⅰ)求椭圆的方程; (Ⅱ)当△AMN得面积为时,求的值.
解:(1)由题意得解得.所以椭圆C的方程为.
(2)由得.
设点M,N的坐标分别为,,则,,,.
所以|MN|===.
由因为点A(2,0)到直线的距离,
所以△AMN的面积为. 由,解得.
变式1、 AUTONUM \* Arabic \* MERGEFORMAT 已知分别是椭圆:+=1()的左、右焦点,是椭圆的上顶点,是直线与椭圆的另一个交点,.
(Ⅰ)求椭圆的离心率; (Ⅱ)已知面积为40,求 的值
【解析】( = 1 \* ROMAN I)
(Ⅱ)设;则
在中,
[来源:学|科|网Z|X|X|K]
面积
变式2、已知抛物线:,直线交于两点,是线段的中点,过作轴的垂线交于点.
(Ⅰ)证明:抛物线在点处的切线与平行;
(Ⅱ)是否存在实数使,若存在,求的值;若不存在,说明理由.
解、(Ⅰ)如图,设,,把代入得,
xAy112
x
A
y
1
1
2
M
N
B
O
,点的坐标为.
设抛物线在点处的切线的方程为,
将代入上式得,
直线与抛物线相切,
,.
即.
(Ⅱ)假设存在实数,使,则,又是的中点,
.
由(Ⅰ)知
.
轴,.
又
.
,解得.
即存在,使.
例3、已知中心在原点的双曲线C的右焦点为(2,0),右顶点为。
(1) 求双曲线C的方程;
(2) 若直线l:与双曲线C恒有两个不同的交点A和B,且(其中O为原点),求k的取值范围。
解:(Ⅰ)设双曲线方程为 由已知得故双曲线C的方程为
(Ⅱ)将
由直线l与双曲线交于不同的两点得
即 ① 设,则
而
于是 ②
由①、②得 故k的取值范围为
例4、已知椭圆,点在椭圆上.
(I)求椭圆的离心率.
(II)设为椭圆的右顶点,为坐标原点,若在椭圆上且满足,求直线的斜率的值.
LISTNUM OutlineDefault \l 3 \* MERGEFORMAT 解:因为点在椭圆上,故,于是,所以椭圆的离心率
(2)设直线的斜率为,则其方程为,设点的坐标为
变式1、已知椭圆,椭圆以的长轴为短轴,且与有相同的离心率.
(1)求椭圆的方程;
(2)设O为坐标原点,点A,B分别在椭圆和上,,求直线的方程.
变式2、在平面直角坐标系中,已知椭圆:()的左焦点为且点在上.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)设直线同时与椭圆和抛物线:相切,求直线的方程.
解析:(Ⅰ)由左焦点可知,点在上,所以,即,所以,于是椭圆的方程为.
(Ⅱ)显然直线的斜率存在,假设其方程为.
联立,消去,可得,由可得①.联立,消去,可得,由可得②.由①②,解得或,所以直线方程为或.
变式3、设点的轨迹为曲线,直线与曲线交于、两点.
求出的方程;(2)若=1,求的面积;(3)若,求实数的值。
解(1)
(2)由故
(3)设
①由
①
②又
②
①代入②得:
例5、如图, 直线y=x与抛物线y=x2-4交于A、B两点, 线段
AB的垂直平分线与直线y=-5交于Q点.
(1)求点Q的坐标;
(2)当P为抛物线上位于线段AB下方(含A、B)的动点时,
求ΔPAB面积的最大值.
解(1) 解方程组 得 或
即A(-
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