一阶线性微分方程.ppt

* * 一阶线性微分方程的标准形式为 则称为一阶线性齐次方程. 则称为一阶线性非齐次方程. 如 线性方程. 非线性方程. 5.3　一阶线性微分方程 5.3.1 一阶线性齐次方程 一阶线性齐次方程为 (利用分离变量法) 齐次方程的通解为 (5.12) 例1 求解初值问题： 解 方程写成 线性非齐次方程 讨论 两边积分 非齐次方程通解形式 与齐次方程通解相比 5.2.3 一阶线性非齐次方程 常数变易法 把齐次方程通解中的常数变易为待定函数的方法. 实质: 未知函数的变量代换. 作变换 积分得 一阶线性非齐次微分方程的通解为: 对应齐次方程通解 非齐次方程特解 即 非齐次通解 = 齐次通解 + 非齐次特解 ——线性微分方程解的结构，是很优良的性质。 通解y可以写成两部分之和： 解 方程变形为 这里 由公式， 解 方程变形为 这是典型的一阶线性方程，于是方程的通解为 解 求导，得 O x x y P(x,y) A(1,1) 如图，依题意 5.3.3　可化为一阶线性方程的方程 —Bernoulli方程 Bernoulli方程的标准形式 方程为线性微分方程. 方程为非线性微分方程. 解法: 需经过变量代换化为线性微分方程. 代入上式 求出通解后，将 代入即得 解 方程可写成 方程化为 练习 用适当的变量代换解下列微分方程: 解 所求通解为 解 分离变量法得 所求通解为 解 代入原式 分离变量法得 所求通解为 另解 这是关于x的一阶线形微分方程。 *