关于曲面一般研究Ⅱ.pdf

学科与专题介绍 关于曲面的一般研究 (II) KarlFriedrichGauss (fi-1827年 10月8日提交给皇家学会) 17． 我们回到公式 VEdp+2Fdp·dq+Gdq0． 这个公式一般地表达了曲面上一个线元素的量值．首先，我们研究系数E， G的几何意 义．在第 5节中，我们已经说过，可以假定位于曲面上的两个 曲线族：第 1族是沿着每 一 曲线上P为变量，而q为常数；第2族是q为变量，而P为常数．曲面上的任何一点 可以看成是第 1族曲线中的一条曲线与第 2族中的一条曲线的交点；那么邻近这一点相 应于一个变分咖 的第 1族曲线的线元素将等于 ． ，而相应于变分d口的第 2族曲线 的线元素将等于 ．dq．最后，记这两个线元素之间的夹角为 ，容易看出我们有 F C0S = ——=== ． EG 再者，曲面的面积元素取平行四边形的形式，这个平行四边形由第 1族曲线中的两条曲 线 (相应于 q，q+dq)和第 2族 曲线中的两条曲线 (相应于P，P+dp)组成，面积元素为 VEG—F2dp·dq． 曲面上的任意一条曲线，若不属于这两族曲线，则可以由以下方式确定：假定P，q是一个 新的变量的函数，或者它们中的一个是另一个的函数．设 s表示这样一条曲线的弧长， 这个弧长从一任意的初始点开始度量，并且每一方向都选择 s为正的．设 表示角，这 个角是由线元素 ds=VE咖0+2F却 ·dq+Gdq0 与从线元素的初始点所作出的第 1族曲线所成的角．为了不引起混淆，我们假定这个角 是由从P的值增加的第 1族曲线的方向所度量的，并且是沿着 g的值也增加的方向取正 值．作了这些规定，很容易看出 c。8 ．ds： ． + ．c08 ．dq： —Edp+ Fdq — — ， V 凸 sin ．ds： ．sin ．dq： ~／EG -F2~dq ． 译自lAst~risque，Vo1．62(1979)，P．1_81，GeneralInvestigationsofCurvedSurfaces，KarlFriedrich Gauss．Copyright④1979Astdrisque．Reprintedwithpermission．Allrightsreserved．Ast~risque 授予版权． ． 97 ． 18． 现在我们将研究这条曲线是最短线的条件．由于它的长度 s可以用积分表示为 s = ／√Edp0-4-2F却·dq-4-Gdq0， l， 为了达到最小值的条件，要求由曲线位置的一个无穷小变化所