量子物理第2章 薛定谔方程.ppt

任何满足适当边界条件和连续性要求的波函数 ，均可用这个函数系作展开 三、能量本征函数系是正交、归一的完备集合 正交、归一化条件（自己验证）： 完备性： 展开系数按下式计算 （付氏级数） 证明： 平衡位置附近的微振动可近似认为是简谐振动。例如，原子核内质子和中子的振动、原子和分子的振动、固体晶格离子的振动等。 §2.3 一维简谐振子 选平衡位置为坐标原点和势能零点，简谐振子能量本征方程为 本征态是束缚态： 1、 简谐振子的能量 n = 0, 1, 2, … 采用级数解法。结果如下： (1)量子化，等间距： 符合不确定度关系 (3)有选择定则： (2)有零点能： 所以，室温下分子可视为刚性。 能级跃迁要满足 (4) 当n??? 时， 符合玻尔对应原理。 量子化?连续 （宏观振子能量相应n? 1025 ，?E ? 10-33J ） 分子振动 ?E ?（10 ?2 ? 10 ?1 eV）> kT (室温)， 2、简谐振子的本征波函数 Hn是厄密（Hermite）多项式， 最高阶是 ? ? 3、概率密度 波函数 概率密度 n = 0 x n = 0 x n = 1 x n = 1 x n = 2 x n = 2 x x n很大 En E1 E2 E0 0 U(x) 概率密度的特点： (1) 概率在E < U 区仍有分布 — 量子效应 例如基态位置概率分布在 x = 0 处最大， (3) 当n??? 时， 经典振子在x = 0处概率最小。 符合玻尔对应原理。 量子概率分布 x n很大 0 n=1 n=2 n=3 U(x) (2) n小时，概率分布与经典谐振子完全不同 ? 经典概率分布， 简谐振子 n =11 时的概率密度分布： 经典简谐振子在原点速度最大，停留时间短， 振子在两端速度为零， 粒子出现的概率小； 出现的概率最大。 虚线是经典结果 可以验证，简谐振子的能量本征函数系也是完备的，也满足正交、归一化条件： 任何满足适当边界条件和连续性要求的波函数 ，均可用这个函数系作展开 简谐振子本征函数系是很好的量子计算基底。 * 2005年秋季学期 第2章 薛定谔方程 陈信义编 目 录 §2.1 薛定谔方程和力学量算符 §2.2 无限深方势阱中的粒子 §2.4 一维谐振子 §2.3 量子隧穿效应 §2 .1薛定谔方程和力学量算符 1926年，在一次学术讨论会上年轻的薛定谔介绍德布罗意关于粒子波动性假说的论文，在薛定谔讲完后，物理学家德拜（P.Debey）评论说：认真地讨论波动，必须有波动方程。 几个星期后，薛定谔又作了一次报告。开头就兴奋地说：你们要的波动方程，我找到了！这个方程，就是著名的薛定谔方程。 薛定谔方程是量子力学的基本动力学方程，它在量子力学中的作用和牛顿方程在经典力学中的作用是一样的。 同牛顿方程一样，薛定谔方程也不能由其它的基本原理推导得到，而只能是一个基本的假设，其正确性也只能靠实验来检验。 一、自由粒子薛定谔方程 自由粒子波函数（一维） 微商，得到方程 ?对波函数的运算、变换或操作。 ：算符 代表用 乘波函数 ：对波函数取复共轭 ：算符 代表对波函数关于 求导 ：算符 代表对波函数关于 求导 算符是通过对波函数的作用关系来定义的 例如 算符(operator) 对于非相对论性自由粒子： 算符对应关系： 作用于波函数，得自由粒子薛定谔方程 算符和力学量的对应关系： 设粒子在势场U(x,t)中运动，能量关系为 二、薛定谔方程 算符对应关系： 作用于波函数，得薛定谔方程 三维： 引入拉普拉斯算符： 薛定谔方程： 若 和 是薛定谔方程的解， 则 也是薛定谔方程的解。 是线性齐次微分方程，解满足态叠加原理 方程中含有虚数 i 它的解? 是复函数，复数不能直接测量。而? 的模方代表概率密度，可测量。 是量子力学的基本方程，描述非相对论性粒 子波函数随时间演化规律。 三、力学量算符的引入 量子力学假设： 力学量用算符表达。 1、坐标算符 其中Ψ 代表任意波函数。 坐标算符假定为 2、动量算符 算符和动量的对应关系： 坐标算符假定为 【例】动量算符对自由粒子波函数的作用 粒子的动量 作用结果：等于粒子的动量乘波函数。 自由粒子波函数是动量算符的“本征态”。 描述的粒子的动量，结果一定等于动量 。 测量由自由粒子波函数 物理上的理解： 动量是动量算符的“本征值”。 3、哈密