数学基础论的三大流派.PDF

Http:///journal.htm 逻辑与认知 Vol.2, No.4, 2004 数学基础论的三大流派 梁 彪 （中山大学逻辑与认知研究所，中山大学哲学系 ，广州510275） 摘要 本文对20世纪出现了有关数学基础论三大流派作一些简要的分析。逻辑主义认为数学可以化归为逻 辑，集合论悖论的发现给逻辑主义者造成重大的打击，逻辑主义失败的原因在于他们没有看到逻辑与数学 之间存在着质的区别。直觉主义否定非构造性数学即古典数学，其失败的原因在于他们把数学归结为对于 人类思想的某种功能的研究，而且完全否认了数学的客观意义。形式主义要求把数学理论组织成既有公理 又有变形规则的 “形式系统”使数学既解除悖论的威胁，又保留古典数学。哥德尔不完全定理证明了形式 主义的目的是不可能实现的，其原因在于片面地夸大了有限和无限的对立性。 关键词 数学基础 逻辑主义 直觉主义 形式主义 中图分类号：B81 文献标识码： A 数学基础论是对数学问题进行哲学思考的结果。“数学的基础究竟是什么？”这个问题， 一直是人们关注的对象。20 世纪初出现了三种主要思潮，它们对传统的数学的基础理论进 行了挑战，并各以自己不同的观点和不同的方式，来回答数学的基础是什么的问题。这三种 数学哲学的思潮是：以弗雷格和罗素为首的逻辑主义、以布劳威尔为首的直觉主义、以希尔 伯特为首的形式主义。 1 逻辑主义者要把数学化归为逻辑 1．逻辑主义思潮概述 20 世纪初德国逻辑学家弗雷格和英国逻辑学家罗素提出了一个著名观点：数学可以化 归为逻辑。也就是说，用逻辑的概念来定义数学的概念，运用逻辑的规则，通过逻辑演绎来 证明所有的数学命题。后来，这种观点被称为逻辑主义。 逻辑主义产生的原因在于当时人们认为数学的基础并不稳固。当时的数学基础研究理 论，就是 “数学算术化”理论，即把数学的基础归结为皮亚诺的算术公理，而这些公理的可 靠性又建筑在自明的即直觉的基础之上。弗雷格认为，直觉是不可靠的，而只有逻辑才使数 学建筑在绝对可靠的基础之上。弗雷格据此展开了他的工作，他首先试图从逻辑推导出算术， 认为算术理论可以建立在逻辑的基础之上。 罗素的数学基础研究迟于弗雷格的研究，而在一定程度上超出了弗雷格的工作。弗雷格 与罗素所从事的研究工作并不完全一样，但是，他们有一个共同之处，就是从逻辑去开展数 学理论时，他们都用到了集合的概念和理论。所以，集合的问题成了逻辑主义的关键所在。 但是，集合论悖论的发现给逻辑主义者造成重大的打击，因为如果集合理论本身是不可靠的， 那么是没有资格作为全部数学的最终基础的。 面对集合悖论的冲击，逻辑主义者只有两种选择：要么完全放弃“逻辑是数学的可靠基 础”这种观点，要么先解决如何避免悖论的问题，然后由逻辑出发去开展出全部数学。 收稿日期：2004-12-31 ； 作者简介：梁彪 （1951-），广东阳江人， 中山大学逻辑与认知研究所，中山大学哲学系副教授，主要从事 现代逻辑，西方逻辑史，逻辑哲学与哲学逻辑研究。 116 逻辑与认知 Vo l. 2, No.4, 2004 弗雷格选择的是前者。弗雷格在他得知罗素悖论后，放弃了逻辑主义立场。罗素则选择 了后者，他和怀特海一起研究如何有效地避免悖论的出现，然后由逻辑出发去开展出全部数 学。其结果就是他们写成了著名的 《数学原理》，他们认为，这本巨著实现了逻辑主义的目 标。 人们高度评价 《数学原理》及逻辑主义的基础研究工作，但是，许多人却仍然否定逻辑 主义的 “数学可以化归为逻辑”这一原则。由于《数学原理》实质上是以集合论为基础，并 按照分支类型论的原则去开展全部数学的，因此，人们的批评主要有两点，第一，集合论不 是逻辑；第二，按照分支类型论的原则并不能真正地开展出全部的数学。对于第一点，很多 人认为，集合的概念和理论不属于逻辑的范畴。更重要的是，在 《数学原理》中采用了无穷 公理，由于无穷公理肯定了无穷多个对象的存在性，也即包含了关于外在事实的断