数论+组合数学-Read.ppt

数论 Butterfly0923 doraemonok 求素数方法 1）p[N]存储所有的素数，二重循环，用已经求出的不大于平方根的所有素数试除 for(i=2;in;++i)? for(j=0;jm p[j]*p[j]=n;++j)? 如果p[j]整除i，则i不是素数 如果都不能整除，则i是素数，添加到素数列表p[N]; 素数 2）增加布尔型数组b[N]记录是否为素数，初始化所有值=1，从头开始遍历，如果b[i]==1，则i是素数，将所有的i的倍数j均修改为b[j]=0 for(i=2;in;++i)? 如果b[i]==1则添加到素数列表p[]，然后利用循环for(j=i*i;jn;j+=i) b[j]=0将i的所有倍数删掉 思考：试比较两种方法效率 大数的素性检测 Rabin-Miller素数测试非素数通过测试概率为 ? Pollard-ρ算法大数的快速分解 不详细介绍，有兴趣的可以上网搜索 二分法in乘方 如何计算a^n ？ 1）计算a*a*a*…*a*a*a，需要计算n-1次乘法，时间复杂度O(n)? 2）考虑实例a^4，计算b=a*a，再算c=b*b，则c=a^4，但是只用了两次乘法，效率提高。比如a^9=a*(a^4)*(a^4)，只需用4次乘法，一般的，a^n时间复杂度为O(logn)? 二分法in乘方 考虑n二进制最后一位 如果＝0，则a^n可以化为(a^2)^(n/2)? 如果＝1，则a^n可以化为(a^2)^(n/2)*a 然后可以继续用类似方法求解，考虑n的倒数第2位二进制，等等…… 改进乘方算法应用于fibonacci GCD（Great Common Divisor)? Euclid 算法 int gcd ( int a, int b ) { int mod; while ( mod = a % b ) a = b, b = mod; return b;}//注意这里面必须a,b都为正数，否则要加其他判断语句 Extended-Euclid 算法: 同时求出 v, u 使gcd ( a, b ) = u * a + v * b（重要） 非递归的不好写，建议写递归的 LCM(Least Common Multiple)? 有了 GCD, LCM 就好办了↓ LCM ( a, b ) = a * b / GCD ( a, b ) 实际上最好写成a/GCD(a,b)*b 思考：为什么下面的写法好？ 中国剩余定理 中国剩余定理的内容如下：令n=n1n2...nk，其中ni是两两互质的数，则对 0=an与0=aini且ai=a?mod?ni 首先定义mi=n/ni(i=1,2...k)，则mi是除了ni以外的所有nj的乘积，由于GCD(mi,ni)=1，所以用扩展Euclid算法得ci满足bini+cimi=1 a=a1c1m1+a2c2m2+...+akckmk?(mod?n) 欧拉函数 (x)表示与x互质且小于x的正整数的个数 如果x为素数，则欧拉函数等于x-1 求法：将x分解为p1^n1*p2^n2*…pk^nk，则 欧拉函数=p1^(n1-1)*…*pk^(nk-1)*(p1-1)*…*(pk-1)? n! n!=p1^n1*p2^n2*…*pk^nk 勒让德定理： ni=[n/pi]+[n/pi^2]+[n/pi^3]+…… 其中[]表示向下取整 思考：可以扩展这个方法，对任意的a，求指数e使a^e整除n!，但是a^(e+1)不整除n! 费马小定理及其推广 若p为素数，gcd(a,p)=1 则a^(p-1)=1(mod p)? 推广： 若gcd(a,n)=1 则a^f(n)=1(mod n)? 其中f(n)为n的欧拉函数，这里注意到，如果n为素数，则由于n的欧拉函数=n-1，可以推出费马小定理 扩展欧几里得算法 注意到对于gcd(a,b) = d 我们对(a, b)用欧几里德辗转相除会最终得到(d, 0)此时对于把a =d, b = 0 带入a*x + b*y = d，显然x = 1，y可以为任意值，这里y可以为任意值就意味着解会有无数个。我们可以用a = d, b = 0的情况逆推出来任何gcd(a, b) = d 满足a*x + b*y = d的解。如果x0, y0是b*x + (a%b)*y = d 的解，那么对于a*x + b*y = d的解呢？ 扩展欧几里得算法 b*x + (a%b)*y = d?=?b*x + (a - [a/b]*b)*y = a*y + b*(x - [a/b]*y)，所以a*x + b*y = d的解x1 = y0， y1 = x0 - [a/b]*y0; 这样我们可以程序迭代了。 Exercise NKOJ 1053: 哥德巴