【不等式①】不等式证明及应用T20160324.docxVIP

PAGE3 / NUMPAGES9 ★高考 专题讲座 高效复习 备战计划 【不等式证明及应用】专题 主讲教师：王建华 科 目：数 学 学员姓名：________ 教育学科教师教学辅导讲义 学员编号： 年 级：Middle 课时数：3 学员姓名： 科 目：数学 学科教师： 课 题 二轮专题：不等式证明及应用 教学内容 【知识梳理】 （1）铁三角 （2）推广的铁三角： （3）拓展 均值不等式：设是个正实数，记，， ，，则，其中等号成立的条件是。分别称为平方平均、算术平均、几何平均、调和平均。 2.柯西不等式推导 3.排序不等式（又称排序定理）： 给定两组实数；．如果；．那么 （反序和） （乱序和） （同序和） 【典型例题】 【题型1】应用冰糖葫芦串 概念辨析（基本概念理解题） 【例1】已知、满足，，其中，求的值域．小明同学的解法如下：∵，，∴ ．则当时，有最小值．∴的值域为．请判断小明同学上述解答是否正确，若不正确，请给出正确的过程与结果． 【解析】 即a的取值范围，大于1，这样把a的最小值代入求出xy最小值。 【例2】2013年湖南省高考试题 10.已知 . ∵（a+b+c）2≤3（a2+b2+c2） ∴（a+2b+3c）2≤3（a2+4b2+9c2） ∴（a2+4b2+9c2）≥12 【例3】2013年湖北省高考试题 13．设，且满足：则___________。 【例4】全国卷2 （24）（本小题满分10分）选修4——5；不等式选讲 设a，b，c均为正数，且a+b+c=1，证明： （Ⅰ） （Ⅱ） 【例5】2013年天津市高考试题 (14) 设a + b = 2, b>0, 则当a = 时, 取得最小值. 【例6】2013年山东省高考试题 （12）设正实数x,y,z满足x2-3xy+4y2-z=0.则当 QUOTE 取得最大值时， QUOTE + QUOTE - QUOTE 的最大值为（A）0 （B）1 （C） QUOTE （D）3 【题型2】数形结合法证明不等式 例【2】 设，求证：. 分析 从题干中能够直接获得信息较少，似乎有很大的困难阻碍证明的进行，但是仔细的观察，其中的数字“1”多次的出现，那么其是否有一定的含义或者启示呢？大胆的猜想命题者的意图，以常数1为边构造一个等边三角形，变量即是各边上的一段距离，而所证明的不等式中乘积表达式与面积有关，故而大胆的利用构造的三角形面积解决问题. 证明 以1为边构造等边三角形，如图所示.由于 根据图形所示，显然可知 于是有 即. 例【3】 设证明：. 分析 在已知的条件中，这一恒等式给出了以下一些信息：变量可以相互利用对方的代数式进行表示；变量可以看作是满足于直线方程上的一个实数对；并且当且仅当变量相等且等于时，所要证明的不等式等号成立.如果以变量相互利用对方的代数式进行表示，再代入要证明的不等式中进行计算化简证明，但是这样的方法下所要进行的计算量是不小的，因此可以另外考虑其他的途径，若将变量看作是满足于直线方程上的一个实数对，而不等式中出现的平方关系让我们联想到距离的公式，因此不等式表示的几何意义是：到点的距离不小于它到直线的距离. 证明 如图所示，点到点的距离为： 点到点的距离为 由于,当且仅当点重合时，等号成立. 当点重合时，由于，所以点必须在第一象限重合. 根据图示可知，由于，所以.当且仅当时，等号成立.所以，即是. 其实在不等式的证明中，只要认真的观察和分析不等式以及已知条件的含义，通过构造和联想与猜想，与我们所学过的相关知识的结构融合，对已知条件和证明的不等式进行合理的几何含义表征，就会找到以形助数的方法进行证明. 例【4】已知 分析 看作是圆上的点， 则不等式的几何含义是：以为半径的圆 上的点到直线的距离不大于圆的半径. 证明 如图所示，在平行线之间的距离是圆的半径，其余在圆上的点到直线距离均小于，并且这些距离的表达式为：.所以. 例【5】若. 分析 该题中的变量为，若使用代换，则会略显繁琐，很多同学看见都会想到“1”的代换，也会很轻松的获的解决的方法，这时候就应该充分利用柯西不等式简捷求解.但是此处将形式统一的看成是函数中自变量对应的函数值，这就会将问题转化成函数问题. 证明 在直角坐标系中作出函数，在第一象限内取三点，此三点所构成的三角形的重心的坐标为： ，由于函数的图像是凹的，且从图像上可