初中几何辅助线全-最全.doc

PAGE PAGE 29 三角形中作辅助线的常用方法举例 一、延长已知边构造三角形： 例如：如图7-1：已知AC＝BD，AD⊥AC于A ，BC⊥BD于B， 求证：AD＝BC 分析：欲证 AD＝BC，先证分别含有AD，BC的三角形全等，有几种方案：△ADC与△BCD，△AOD与△BOC，△ABD与△BAC，但根据现有条件，均无法证全等，差角的相等，因此可设法作出新的角，且让此角作为两个三角形的公共角。 证明：分别延长DA，CB，它们的延长交于E点， ∵AD⊥AC BC⊥BD （已知） ∴∠CAE＝∠DBE ＝90° （垂直的定义） 在△DBE与△CAE中 ∵ ∴△DBE≌△CAE （AAS） ∴ED＝EC EB＝EA （全等三角形对应边相等） ∴ED－EA＝EC－EB 即：AD＝BC。 （当条件不足时，可通过添加辅助线得出新的条件，为证题创造条件。） 二 、连接四边形的对角线，把四边形的问题转化成为三角形来解决。 三、有和角平分线垂直的线段时，通常把这条线段延长。 例如：如图9-1：在Rt△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，∠1＝∠2，CE⊥BD的延长于E 。求证：BD＝2CE 分析：要证BD＝2CE，想到要构造线段2CE，同时CE与∠ABC的平分线垂直，想到要将其延长。 证明：分别延长BA，CE交于点F。 ∵BE⊥CF （已知） ∴∠BEF＝∠BEC＝90° （垂直的定义） 在△BEF与△BEC中， ∵ ∴△BEF≌△BEC（ASA）∴CE=FE=CF （全等三角形对应边相等） ∵∠BAC=90° BE⊥CF （已知） ∴∠BAC＝∠CAF＝90° ∠1＋∠BDA＝90°∠1＋∠BFC＝90° ∴∠BDA＝∠BFC 在△ABD与△ACF中 ∴△ABD≌△ACF （AAS）∴BD＝CF （全等三角形对应边相等） ∴BD＝2CE 四、取线段中点构造全等三有形。 例如：如图11-1：AB＝DC，∠A＝∠D 求证：∠ABC＝∠DCB。 分析：由AB＝DC，∠A＝∠D，想到如取AD的中点N，连接NB，NC，再由SAS公理有△ABN≌△DCN，故BN＝CN，∠ABN＝∠DCN。下面只需证∠NBC＝∠NCB，再取BC的中点M，连接MN，则由SSS公理有△NBM≌△NCM，所以∠NBC＝∠NCB。问题得证。 证明：取AD，BC的中点N、M，连接NB，NM，NC。则AN=DN，BM=CM，在△ABN和△DCN中 ∵ ∴△ABN≌△DCN （SAS） ∴∠ABN＝∠DCN NB＝NC （全等三角形对应边、角相等） 在△NBM与△NCM中 ∵ ∴△NMB≌△NCM，(SSS) ∴∠NBC＝∠NCB （全等三角形对应角相等）∴∠NBC＋∠ABN ＝∠NCB＋∠DCN 即∠ABC＝∠DCB。 巧求三角形中线段的比值 例1. 如图1，在△ABC中，BD：DC＝1：3，AE：ED＝2：3，求AF：FC。 解：过点D作DG//AC，交BF于点G 所以DG：FC＝BD：BC 因为BD：DC＝1：3 所以BD：BC＝1：4 即DG：FC＝1：4，FC＝4DG 因为DG：AF＝DE：AE 又因为AE：ED＝2：3 所以DG：AF＝3：2 即 所以AF：FC＝：4DG＝1：6 例2. 如图2，BC＝CD，AF＝FC，求EF：FD 解：过点C作CG//DE交AB于点G，则有EF：GC＝AF：AC 因为AF＝FC 所以AF：AC＝1：2 即EF：GC＝1：2， 因为CG：DE＝BC：BD 又因为BC＝CD 所以BC：BD＝1：2 CG：DE＝1：2 即DE＝2GC 因为FD＝ED－EF＝ 所以EF：FD＝ 小结：以上两例中，辅助线都作在了“已知”条件中出现的两条已知线段的交点处，且所作的辅助线与结论中出现的线段平行。请再看两例，让我们感受其中的奥妙！ 例3. 如图3，BD：DC＝1：3，AE：EB＝2：3，求AF：FD。 解：过点B作BG//AD，交CE延长线于点G。 所以DF：BG＝CD：CB 因为BD：DC＝1：3 所以CD：CB＝3：4 即DF：BG＝3：4， 因为AF：BG＝AE：EB 又因为AE：EB＝2：3 所以AF：BG＝2：3 即 所以AF：DF＝ 例4. 如图4，BD：DC＝1：3，AF＝FD，求EF：FC。 解：过点D作DG//C