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圆
24.1.1 圆
知识点一 圆的定义
圆的定义:第一种:在一个平面内,线段 OA 绕它固定的一个端点 O 旋转一周,另一个端点 A 所形成的图形叫作圆。固定的端点 O 叫作圆心,线段 OA 叫作半径。第二种:圆心为 O,半径为 r 的圆可以看成是所有到定点 O 的距离等于定长 r 的点的集合。
比较圆的两种定义可知:第一种定义是圆的形成进行描述的,第二种是运用集合的观点下的定义,但是都说明确定了定点与定长,也就确定了圆。
知识点二 圆的相关概念
(1) 弦:连接圆上任意两点的线段叫做弦,经过圆心的弦叫作直径。
(2) 弧:圆上任意两点间的部分叫做圆弧,简称弧。圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧,每一条弧都叫做半圆。(3) 等圆:等够重合的两个圆叫做等圆。
(4) 等弧:在同圆或等圆中,能够互相重合的弧叫做等弧。
弦是线段,弧是曲线,判断等弧首要的条件是在同圆或等圆中,只有在同圆或等圆中完全重合的弧才是等弧,而不是长度相等的弧。
24.1.2 垂直于弦的直径
知识点一 圆的对称性
圆是轴对称图形,任何一条直径所在直线都是它的对称轴。知识点二 垂径定理
(1)垂径定理:垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧。如图所示,直径为 CD,AB 是弦,且 CD⊥AB,
C
M
AM=BM
A
B
垂足为 M
AC =BC
AD=BD
D
垂径定理的推论:平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧如上图所示,直径 CD 与非直径弦 AB 相交于点 M,
CD⊥AB AM=BM AC=BC AD=BD
注意:因为圆的两条直径必须互相平分,所以垂径定理的推论中,被平分的弦必须不是直径,否则结论不成立。
24.1.3 弧、弦、圆心角
知识点 弦、弧、圆心角的关系(1) 弦、弧、圆心角之间的关系定理:在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦也相等。
(2) 在同圆或等圆中,如果两个圆心角,两条弧,两条弦中有一组量相等,那么它们所对应的其余的各组量也相等。
(3) 注意不能忽略同圆或等圆这个前提条件,如果丢掉这个条件,即使圆心角相等,所对的弧、弦也不一定相等,比如两个同心圆中,两个圆心角相同,但此时弧、弦不一定相等。
24.1.4 圆周角
知识点一 圆周角定理
(1) 圆周角定理:在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,都等于这条弧所对的圆心角的一半。
(2) 圆周角定理的推论:半圆(或直径)所对的圆周角是直角,90°的圆周角所对弦是直径。
(3) 圆周角定理揭示了同弧或等弧所对的圆周角与圆心角的大小关系。“同弧或等弧”是不能改为“同弦或等弦”的,否则就不成立了,因为一条弦所对的圆周角有两类。
知识点二 圆内接四边形及其性质
圆内接多边形:如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上,这个多边形叫做圆内接多边形,这个圆叫做这个多边形的外接圆。圆内接四边形的性质:圆内接四边形的对角互补。
24.2 点、直线、圆和圆的位置关系
24.2.1 点和圆的位置关系
知识点一 点与圆的位置关系
(1)
点与圆的位置关系有:点在圆外,点在圆上,点在圆内三种。
(2)
用数量关系表示:若设⊙O 的半径是 r,点 P 到圆的距离 OP=d,则有:
点 P 在圆外
d>r;点 p 在圆上
d=r;点 p 在圆内
d<r。
知识点二 过已知点作圆(1) 经过一个点的圆(如点 A)
以点 A 外的任意一点(如点 O)为圆心,以 OA 为半径作圆即可,如图,这样的圆可以作无数个。
·O1
·O2
·O3
(2) 经过两点的圆(如点 A、B)
以线段 AB 的垂直平分线上的任意一点(如点 O)为圆心,以 OA(或 OB)为半径作圆即可,如图,这样的圆可以作无数个。
A
B
(3) 经过三点的圆
经过在同一条直线上的三个点不能作圆
不在同一条直线上的三个点确定一个圆,即经过不在同一条直线上的三个点可以作圆,且只能作一个圆。如经过不在同一条直线上的三个点 A、B、C 作圆,作法:连接 AB、BC(或 AB、AC 或 BC、AC)并作它们的垂直平分线,两条垂直平分线相交于点 O,以点 O 为圆心,以 OA(或 OB、OC)的长为半径作圆即可,如图,这样的圆只能作一个。
③
A
O
B
C
知识点三 三角形的外接圆与外心(1) 经过三角形三个顶点可以作一个圆,这个圆叫做三角形的外接圆。
(2) 外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线的交点,叫做这个三角形的外心。知识点四 反证法
(1) 反证法:假设命题的结论不成立,经过推理得出矛盾,由矛盾断定所作假设不正确,从而得到原命题成立,这种证明命题的方
法叫做反证法。
(2) 反证法的一般步骤:
假设
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