无穷小量-极运算法则.ppt

* 高等院校非数学类本科数学课程 —— 一元微积分学 大 学 数 学（1） 第五讲 无穷小量与无穷大量 极限的运算 授课教师：王利平 主 要 内 容 一.无穷小量及其运算性质 二. 无穷大量 三. 极限的运算法则 一、无穷小量及其运算性质 简言之, 在某极限过程中, 以 0 为极限的量称该极限过程中的一个无穷小量. 例1 在任何一个极限过程中, 常值函数 y = 0 均为无穷小量. 1.无穷小量的定义 定义 2. 函数的极限与无穷小量的关系 分析 反之亦然. 由以上的分析, 你可得出 什么结论 ? 由此可看出, 寻找函数极限运算法则可归结为寻找无穷小量的运算法则. 定理 同一个极限过程中的有限个无穷小量之和仍是一个无穷小量. 同一个极限过程中的有限个无穷小量之积仍为无穷小量. 3.无穷小量的运算法则 常数与无穷小量之积仍为无穷小量. 在某极限过程中, 以极限不 为零的函数除无穷小量所得到商 仍为一个无穷小量. 在某一极限过程中, 无穷小量 与有界量之积仍是一个无穷小量. 证明：在某极限过程中, 两个无穷小量之 和仍是一个无穷小量. 证 证明: 在某一极限过程中, 无穷小量与 有界量的积仍是一个无穷小量. 证 例2 证 证明 有界量与无穷小量的乘积 例3 解 二. 无穷大量 定义 1.无穷大量的定义 例4 例5 无穷大量是否一定是无界量 ? 在某极限过程中, 无界量是否一定是无穷大量 ? 当 x ? ? 时, 函数 sinx、cosx, 是否为无穷大量 ？ 因为sinx、cosx 是有界函数, 所以在任何极限过程中它们都不是无穷大量. (iii), (iv) 自己画画图会更清楚. 在某一极限过程中 定理 2. 无穷大量与无穷小量的关系 无穷大量一定是同一 极限过程中的无界量. 反之不真 3.无穷大量的运算性质 在某极限过程中, 两个无穷大量之积 仍是一个无穷大量. 在某极限过程中, 无穷大量与 有界量之和仍为无穷大量. 不是无穷大量 是无穷大量 例7 两个无穷大量的和是否仍为无穷大量? 考察 例8 有界量与无穷大量的乘积 是否一定为无穷大量？ 不着急, 看个例题: 结论: 在某个极限过程中, 无穷大量一定是无界量, 但无界量不一定是无穷大量. 两个无穷大量的和不一定是无穷大量. 无穷大量与有界量之积不一定是无穷大量. 极限运算法则的理论依据 依据无穷小量的运算法则 定理 法则 三. 极限运算法则 由此你能不能写出极限四则运算公式？ 1. 极限运算法则 设在某极限过程中, 函数 f (x)、g(x) 的极限 lim f (x)、lim g(x) 存在, 则 2.复合函数的极限 有什么问题没有？ 定理 注意这个条件, 缺了它定理不一定成立. 解 例1 求 求有理分式函数 x ? x0 的极限时,若分母不等于零,则可直接代值计算.??? 解 例2 因式分解 *