高等数学12-03(精品·公开课件).ppt

第三节、齐次方程 一、齐次方程 例3. 在制造探照灯反射镜面时, 说明: 二、可化为齐次的方程 三、小结 上一页 下一页 湘潭大学数学与计算科学学院 王文强 一、齐次方程 二、可化为齐次的方程 三、小结 的微分方程称为齐次方程. 2.解法 作变量代换 代入原式 可分离变量的方程 1.定义 例 1 求解微分方程 微分方程的解为 解 例 2 求解微分方程 解 微分方程的解为 解法1 如图 例3. 在制造探照灯反射镜面时, 要求点光源的光线反 射出去有良好的方向性 , 试求反射镜面的形状. 得微分方程 分离变量 积分得 平方化简得 抛物线 可得 ?OMA = ? OAM = ? 解法2: 设光源在坐标原点, 则反射镜面由曲线 绕 x 轴旋转而成 . 过曲线上任意点 M (x, y) 作切线 M T, 由光的反射定律: 入射角 = 反射角 取x 轴平行于光线反射方向, 从而 AO = OM 要求点光源的光线反 射出去有良好的方向性 , 试求反射镜面的形状. 而 AO 于是得微分方程 : 利用曲线的对称性, 不妨设 y 0, 积分得 故有 得 (抛物线) 故反射镜面为旋转抛物面. 于是方程化为 (齐次方程) 顶到底的距离为 h , 则将 这时旋转曲面方程为 若已知反射镜面的底面直径为 d , 代入通解表达式得 为齐次方程. （其中h和k是待定的常数） 否则为非齐次方程. 2.解法 1.定义 有唯一一组解. 得通解代回 未必有解, 上述方法不能用. 可分离变量的微分方程. 可分离变量的微分方程. 可分离变量. 为齐次方程. 否则为非齐次方程. 推广到一般情形： 解 代入原方程得 分离变量法得 得原方程的通解 方程变为 例5 求解微分方程 解 令 再令 两边积分后得 变量还原得 例6 求解微分方程 解 令 令 令 两边同时积分得 变量还原后得通解 利用变量代换求微分方程的解 解 代入原方程 原方程的通解为 齐次方程 齐次方程的解法 可化为齐次方程的方程 上一页 下一页 湘潭大学数学与计算科学学院 王文强