高等数学12-09(精品·公开课件).ppt

第九节 常系数非齐次线性微分方程 一、 型 例2. 例3. 求解定解问题 第一步 第二步 求如下两方程的特解 第三步 求原方程的特解 第四步 分析 小 结: 三、小结 作业 上一页 下一页 湘潭大学数学与计算科学学院 王文强 一、 型 三、小结 二阶常系数非齐次线性方程 对应齐次方程 通解结构 常见类型 难点：如何求特解？ 方法：待定系数法. ? 为实数 , 为 m 次多项式 . 设特解为 其中 为待定多项式 , 代入原方程 , 得 (1) 若 ? 不是特征方程的根, 则取 从而得到特解 形式为 Q (x) 为 m 次待定系数多项式 (2) 若? 是特征方程的单根 , 为m 次多项式, 故特解形式为 (3) 若 ? 是特征方程的重根 , 是 m 次多项式, 故特解形式为 小结 对方程①, 此结论可推广到高阶常系数线性微分方程 . 即 即 当? 是特征方程的 k 重根 时, 可设 特解 特别地 解 对应齐次方程通解 特征方程 特征根 代入方程, 得 原方程通解为 例1 的通解. 解: 本题 特征方程为 其根为 对应齐次方程的通解为 设非齐次方程特解为 比较系数, 得 因此特解为 代入方程得 所求通解为 解: 本题 特征方程为 其根为 设非齐次方程特解为 代入方程得 故 故对应齐次方程通解为 原方程通解为 由初始条件得 于是所求解为 解得 第二步 求出如下两个方程的特解 分析思路: 第一步 将 f (x) 转化为 第三步 利用叠加原理求出原方程的特解 第四步 分析原方程特解的特点 利用欧拉公式将 f (x) 变形 是特征方程的 k 重根 ( k = 0, 1), 故 等式两边取共轭 : 为方程 ③ 的特解 . ② ③ 设 则 ② 有 特解: 利用第二步的结果, 根据叠加原理, 原方程有特解 : 原方程 均为 m 次多项式 . 因 均为 m 次实 多项式 . 本质上为实函数 , 对非齐次方程 则可设特解: 其中 为特征方程的 k 重根 ( k = 0, 1), 上述结论也可推广到高阶方程的情形. 解 对应齐方通解 作辅助方程 代入上式 所求非齐方程特解为 原方程通解为 （取虚部） 例4 解 对应齐方通解 作辅助方程 代入辅助方程 例5 所求非齐方程特解为 原方程通解为 （取实部） 注意 解 对应齐方通解 用常数变易法求非齐方程通解 原方程通解为 例6 (待定系数法) 只含上式一项解法：作辅助方程,求特解, 取特解的实部或虚部, 得原非齐方程特解. 思考题 写出微分方程 的待定特解的形式. 上一页 下一页 湘潭大学数学与计算科学学院 王文强