注册岩土工程师 基础考试 数学 03.ppt

二、解微分方程 1. 一阶微分方程 可分离变量，一阶线性 2. 高阶微分方程 可降阶微分方程，二阶线性微分方程解的结构，二阶线性常系数齐次微分方程求解。 分离变量方程的解法: (2)两边积分 ① ② (3)得到通解 称②为方程①的隐式通解, 或通积分. (1)分离变量 *例2. 求微分方程 的通解. 解: 分离变量得 两边积分 得 即 ( C 为任意常数 ) 因此可能增、 减解. 一阶线性微分方程 一阶线性微分方程标准形式: 若 Q(x) ? 0, 若 Q(x) ? 0, 称为非齐次方程 . 称为齐次方程 ; 解 *例3. 利用一阶线性方程的通解公式得： 令 因此 即 同理可得 依次通过 n 次积分, 可得含 n 个任意常数的通解 . 型的微分方程 例5.求解 解: 型的微分方程 设 原方程化为一阶方程 设其通解为 则得 再一次积分, 得原方程的通解 例6. 求解 解: 代入方程得 分离变量 积分得 利用 于是有 两端再积分得 利用 因此所求特解为 型的微分方程 令 故方程化为 设其通解为 即得 分离变量后积分, 得原方程的通解 例7. 求解 代入方程得 两端积分得 故所求通解为 解: 定理 1. 是二阶线性齐次方程的两个线 性无关特解, 则 数) 是该方程的通解. 例如, 方程 有特解 且 常数, 故方程的通解为 二阶线性齐次方程解的结构 特征方程: 实根 特 征 根 通 解 二阶线性常系数齐次微分方程求解 例9. 的通解. 解: 特征方程 特征根: 因此原方程的通解为 例10. 求解初值问题 解: 特征方程 有重根 因此原方程的通解为 利用初始条件得 于是所求初值问题的解为 *例11. 的通解. 解: 特征方程 特征根: 因此原方程通解为 例12. 解：因 是一个特解，所以 是特征 方程的重根，故特征方程为： 所对应微分方程为 二阶线性非齐次方程解的结构 是二阶非齐次方程 的一个特解, Y (x) 是相应齐次方程的通解, 定理 2. 则 是非齐次方程的通解 . ② ① * 运行时, 点击相片, 或按钮“阿贝尔” 可显示阿贝尔简介, 并自动返回. * 运行时, 点击按钮“推广”, 可显示高阶常系数线性微分方程解的结构. * 运行时, 点击按钮“复习”, 可显示一阶线性方程解的结构. 无穷级数 一、数项级数 二、幂级数 讨论敛散性 求收敛范围，将函数展开为幂级数，求和。 1.数项级数及收敛定义： 给定一个数列 将各项依 即 称上式为无穷级数， 其中第 n 项 叫做级数的一般项, 级数的前 n 项和 称为级数的部分和. 次相加, 简记为 收敛 , 则称无穷级数 并称 S 为级数的和。 等比级数(又称几何级数) ( q 称为公比 ). 级数收敛 , 级数发散 . 其和为 P-级数 2.无穷级数的基本性质 性质1.设 c 是非零常数，则级数 收敛于 S ,则 有相同的敛散性。若 与 收敛于 c S . 性质2. 设有两个收敛级数 则级数 也收敛, 其和为 说明: (2) 若两级数中一个收敛一个发散 , 则 必发散 . 但若二级数都发散 , 不一定发散. (1) 性质2 表明收敛级数可逐项相加或减 . (用反证法可证) 性质3. 在级数前面加上或去掉有限项, 不会影响级数 的敛散性. 性质5：设收敛级数 则必有 可见: 若级数的一般项不趋于0 , 则级数必发散 . *例1.判断下列级数的敛散性: (比较审敛法) 设 且存在 对一切 有 (1) 若强级数 则弱级数 (2) 若弱级数 则强级数 则有 收敛 , 也收敛 ; 发散 , 也发散 . 是两个正项级数, (常数 k > 0 ), 3.正项级数审敛法 (比较审敛法的极限形式) 则有 两个级数同时收敛或发散 ; (2) 当 l = 0 (3) 当 l =∞ 设两正项级数 满足 (1) 当 0 < l <∞ 时, 的敛散性. 例3. 判别级数 解: 根据比较审敛法的极限形式知 发散 比值审敛法 ( D’alembert 判别法) 设 为正项级数, 且 则 (1) 当 (2) 当 时, 级数收敛 ; 或 时, 级数发散 . . 根值审敛法 ( Cauchy判别法) 设 为正项 级数, 且 则 因此级数 收敛. 解: 4.交错级数及其审敛法 则各项符号正负相间的级数 称为交错级数 . ( Leibnitz 判别法 ) 若交错级数满足条件: 则级数 收敛 。 5.绝对收敛与条件收敛 定义: 对任意项级数 若 若原级数收敛, 但取绝对值以后的级数发散, 则称原级 收敛 , 数 绝对收敛 ； 则称原级 数 条件收敛 . 绝对收敛的级数一定收敛 . 由绝对收敛概念和莱布尼兹定理知: 交错级数