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南宁市2013年一道中考几何综合题多解的研究
南宁市2013年一道中考几何综合题多解的研究
图1题目:如图1,在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,AB是圆O的直径,圆O交BC于点D,DE⊥AC于点E,BE交圆O于点F,连接AF,AF的延长线交DE于点P.
(1)求证:DE是圆O的切线;
(2)求tan∠ABE的值;
(3)若OA=2,求线段AP的长.
解析:从考题的三问看,该题的综合性很强.命题者把等腰Rt△ABC与圆O有机地组合在一起,令一直角边AB为圆O的直径,另一直角边AC与圆O相切,斜边BC与圆O相交于点D,过点D作DE⊥AC于点E,连结BE与圆O相交于点F,连结并延长AF与线段DE相交于点P,继而提出三问:第(1)问求证DE是圆O的切线,显然连结DO,证明DE⊥DO即可.从图形看有五条思路:其一平角性质;其二是三角形内角和性质;其三是多边形内角和性质;其四是平行线的性质;其五是全等三角形.第(2)问求tan∠ABE的值,除了直接求值外,还可寻求与∠ABE相等的角解之;第(3)问求线段AP的长.求解思路较广,除直接利用勾股定理、射影定理、还可利用相似三角形、三角形中位线定理、全等三角形性质.下面就分别研究三问的证解方法:
(1)证明DE是圆O的切线
图2证法1:如图2,连结DO,因为∠BAC=90°,AB=AC,所以∠C=∠ABC=45°,因为DE⊥AC,所以∠CDE=45°,因为OB=OD,所以∠ODB=∠ABC=45°,因为∠ODE+∠CDE+∠ODB=180°,所以∠ODE=90°,所以DE⊥DO.
因为点D在圆O上,所以DE是圆O的切线.
证法2:如图2,连结DO.
在△BDE中,∠BDE+∠DEB+∠EBD=180°,
因为∠CDE是△BDE的外角,
所以∠CDE=∠DEB+∠EBD,
因为∠CDE=45°,所以∠DEB+∠EBD=45°,∠ODB=45°,所以∠ODE=180°-∠ODB-(∠DEB+∠EBD)=180°-45°-45°=90°,所以ED⊥DO.
因为点D在圆O上,所以DE是圆O的切线.
证明3:如图2,连结DO.
在四边形AODE中,其内角和为(n-2)×180°.即(4-2)×180°=360°,因为∠OAE=∠AED=∠AOD=90°,所以∠ODE=360°-(∠OAE+∠AED+∠AOD)=360°-(90°+90°+90°)=90°,所以DE⊥DO,
因为点D在圆O上,所以DE是圆O的切线.
证法4:如图2,连结DO,
因为∠BAC=90°,AB=AC,所以∠ABC=45°.
因为OB=DO,所以∠ODB=∠ABC=45°,所以∠DOB=90°,
因为DE⊥AC,BA⊥AC,所以DE∥BA,
所以∠ODE=∠DOB=90°,所以DE⊥DO,
因为点D在圆O上,所以DE是圆O的切线.
证法5:如图2,连结DO.
因为DE⊥AC,BA⊥AC,所以DE∥BA,
所以∠EDB+∠ABD=180°,即∠ODE+∠ODB+∠OBD=180°,
由证明4知∠ODB+∠OBD=90°,
所以∠ODE=180°-(∠ODB+∠OBD)=180°-90°=90°,
所以DE⊥DO,因为点D在圆O上,
所以DE是圆O的切线.
证法6:如图2,连接DO,
由证法4知∠DOB=90°,即DO⊥AB,CA⊥AB,
所以DO∥CA,因为BO=OA,所以BD=OC,
又DE∥BA,所以CE=EA,所以OE∥BC,
所以∠EOD=∠ODB,∠EOA=∠OBD,因为OD=OB.
所以∠ODB=∠OBD,所以∠EOD=∠EOA.因为OD=OA.
OE=OE,所以△EOD≌△EOA,所以∠EDO=∠EAO=90°.
所以ED⊥DO,因为点D在圆O上,
所以DE是圆O的切线.
(2)求tan∠ABE的值
解法1:如图2,连结DO,
因为∠BAC=∠DEA=∠ODE=90°,OA=OD,
所以四边形AODE是正方形,所以AE=OA=12AB,
所以tan∠ABE=AEAB=24=12.
解法2:如图2,因为AE是圆O的切线,所以∠PAE=∠EBA,∠PEA=∠EAB,所以Rt△PEA∽Rt△EBA.
所以PEAE=AEAB,所以PE=AE#8226;AEAB=2×24=1,
所以tan∠PAE=PEAE=12,
所以tan∠ABE=PEAE=12.
解法3:如图1,在Rt△BAE中,BE=AB2+AE2=42+22=25,因为EP∥AB,所以△PEF∽△ABF,所以EFB
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