北京华罗庚学校四年级奥数补习教案-第四讲-等差数列及其应用.docVIP

第四讲 等差数列及其应用 　　许多同学都知道这样一个故事：大数学家高斯在很小的时候，就利用巧妙的算法迅速计算出从1到100这100个自然数的总和.大家在佩服赞叹之余，有没有仔细想一想，高斯为什么算得快呢？当然，小高斯的聪明和善于观察是不必说了，往深处想，最基本的原因却是这100个数及其排列的方法本身具有极强的规律性——每项都比它前面的一项大1，即它们构成了差相等的数列，而这种数列有极简便的求和方法.通过这一讲的学习，我们将不仅掌握有关这种数列求和的方法，而且学会利用这种数列来解决许多有趣的问题. 一、等差数列 　　什么叫等差数列呢？我们先来看几个例子： 　　①l，2，3，4，5，6，7，8，9，… 　　②1，3，5，7，9，11，13. 　　③ 2，4，6，8，10，12，14… 　　④ 3，6，9，12，15，18，21. 　　⑤100，95，90，85，80，75，70. 　　⑥20，18，16，14，12，10，8. 　　这六个数列有一个共同的特点，即相邻两项的差是一个固定的数，像这样的数列就称为等差数列.其中这个固定的数就称为公差，一般用字母d表示，如： 　　数列①中，d=2-1=3-2=4-3=…=1； 　　数列②中，d=3-1=5-3=…=13-11=2； 　　数列⑤中，d=100-95=95-90=…=75-70=5； 　　数列⑥中，d=20-18=18-16=…=10-8=2. 　　例1下面的数列中，哪些是等差数列？若是，请指明公差，若不是，则说明理由. 　　①6，10，14，18，22，…，98； 　　②1，2，1，2，3，4，5，6； 　　③ 1，2，4，8，16，32，64； 　　④ 9，8，7，6，5，4，3，2； 　　⑤3，3，3，3，3，3，3，3； 　　⑥1，0，1，0，l，0，1，0； 　　解：①是，公差d=4. 　　②不是，因为数列的第3项减去第2项不等于数列的第2项减去第1项. 　　③不是，因为4-2≠2-1. 　　④是，公差d=l. 　　⑤是，公差d=0. 　　⑥不是，因为第1项减去第2项不等于第2项减去第3项. 　　一般地说，如果一个数列是等差数列，那么这个数列的每一项或者都不小于前面的项，或者每一项都大于前面的项，上述例1的数列⑥中，第1项大于第2项，第2项却又小于第3项，所以，显然不符合等差数列的定义. 　　为了叙述和书写的方便，通常，我们把数列的第1项记为a1，第2项记为a2，…，第n项记为an，an。又称为数列的通项，a1；又称为数列的首项，最后一项又称为数列的末项. 二、通项公式 　　对于公差为d的等差数列a1，a2，…an…来说，如果a1；小于a2，则 　　公式（1）（2）叫做等差数列的通项公式，利用通项公式，在已知首项和公差的情况下可以求出等差数列中的任何一项. 例2 求等差数列1，6，11，16…的第20项. 　　解：首项a1 =1，又因为a2；大于a1；， 　　公差d=6-1=5，所以运用公式（1）可知： 　　第20项a20=a1=（20-1）×5=1+19×5=96. 　　一般地，如果知道了通项公式中的两个量就可以求出另外一个量，如：由通项公式，我们可以得到项数公式： 　　 例3 已知等差数列2，5，8，11，14…，问47是其中第几项？ 　　解：首项a1=2，公差d=5-2=3 　　令an=47 　　则利用项数公式可得： 　　n=（47-2）÷3+1=16. 　　即47是第16项. 例4 如果一等差数列的第4项为21，第6项为33，求它的第8项. 　　分析与解答 　　方法1：要求第8项，必须知道首项和公差. 　　因为a4=a1+3×d，又a4=21，所以a1=21-3×d又a6=a1+5×d，又a6=33，所以a1=33-5×d所以：21-3×d=33-5×d， 　　所以d=6 a1=21-3×d=3， 　　所以 a8=3+7×6=45. 　　方法2：考虑到a8=a7+d=a6+d+d=a6+2×d，其中a6已知，只要求2×d即可. 　　又 a6=a5+d=a4+d+d=a4+2×d， 　　所以 2×d=a6-a4 　　所以a8=3+7×6=45 　　方法2说明：如果能够灵活运用等差数列各项间的关系，解题将更为简便. 三、等差数列求和 　　若a1 小于a2，则公差为d的等差数列a1,a2,a3…an可以写为 　　a1,a1+d,a1+d×2，…，a1+d×（n-1）.所以，容易知道：a1+an=a2+an-1=a3+an-2 　　=a4+an-3=…=an-1+a2=an+a1. 　　设 Sn=a1+a2+a3+…+an 　　则 Sn=an+an-1+an-2+…+a1 　　两式相加可得： 　　2×Sn=（a1+an）+(a2+an-1)+…+(an+a1)