数理统计复习总结-精选版.doc

1统计量与抽样分布 1.1基本概念：统计量、样本矩、经验分布函数 总体X的样本X1，X2，…，Xn，则T(X1，X2，…，Xn)即为统计量 样本均值 样本方差 修正样本方差 样本k阶原点矩 样本k阶中心矩 经验分布函数 其中Vn(x)表示随机事件出现的次数,显然,则有 补充： 二项分布B(n,p): EX=np DX=np(1-p) 泊松分布: 均匀分布U(a,b): 指数分布: 正态分布:  当时， 1.2统计量：充分统计量、因子分解定理、完备统计量、指数型分布族 T是θ的充分统计量与θ无关 T是θ的完备统计量要使E[g(T)]=0,必有g(T)=0 且h非负T是θ的充分统计量 T是θ的充分完备统计量 是的充分完备统计量 1.3抽样分布：分布，t分布，F分布，分位数，正态总体样本均值和方差的分布，非正态总体样本均值的分布 分布： T分布： 当n>2时，ET=0 F分布： 补充： Z=X+Y的概率密度 f(x,y)是X和Y的联合概率密度 的概率密度 的概率密度 函数： B函数： 1.4次序统计量及其分布：次序统计量、样本中位数、样本极差R X(k)的分布密度： X(1)的分布密度： X(n)的分布密度： 2参数估计 2.1点估计与优良性：概念、无偏估计、均方误差准则、相合估计(一致估计)、渐近正态估计 的均方误差： 若是无偏估计，则 对于的任意一个无偏估计量，有，则是的最小方差无偏估计，记MVUE 相合估计(一致估计): 2.2点估计量的求法：矩估计法、最大似然估计法 矩估计法： 求出总体的k阶原点矩: 解方程组 (k=1,2,...,m)，得即为所求 最大似然估计法： 写出似然函数，求出lnL及似然方程 i=1,2,...,m 解似然方程得到，即最大似然估计 i=1,2,...,m 补充： 似然方程无解时，求出的定义域中使得似然函数最大的值，即为最大似然估计 2.3MVUE和有效估计：最小方差无偏估计、有效估计 T是的充分完备统计量，是的一个无偏估计为的惟一的MVUE 最小方差无偏估计的求解步骤： 求出参数的充分完备统计量T 求出，则是的一个无偏估计 或求出一个无偏估计，然后改写成用T表示的函数 综合，是的MVUE 或者：求出的矩估计或ML估计，再求效率，为1则必为MVUE T是的一个无偏估计，则满足信息不等式，其中或，为样本的联合分布。 最小方差无偏估计达到罗-克拉姆下界有效估计量效率为1 无偏估计的效率： 是的最大似然估计，且是的充分统计量是的有效估计 2.4区间估计：概念、正态总体区间估计(期望、方差、均值差、方差比)及单侧估计、非正态总体参数和区间估计 一个总体的情况： 已知，求的置信区间： 未知，求的置信区间： 已知，求的置信区间： 未知，求的置信区间： 两个总体的情况：， 均已知时，求的区间估计： 未知时，求的区间估计： 未知时，求： 非正态总体的区间估计： 当时， ，故用Sn代替Sn-1 3统计决策与贝叶斯估计 3.1统计决策的基本概念：三要素、统计决策函数及风险函数 三要素：样本空间和分布族、行动空间（判决空间）、损失函数 统计决策函数d(X):本质上是一个统计量，可用来估计未知参数 风险函数：是关于的函数 3.2贝叶斯估计：先验分布与后验分布、贝叶斯风险、贝叶斯估计 求样本X=(X1,X2,...,Xn)的分布： 样本X与的联合概率分布： 求关于x的边缘密度 的后验密度为： 取时 的贝叶斯估计为： 贝叶斯风险为： 取时，贝叶斯估计为： 补充： 的贝叶斯估计：取损失函数，则贝叶斯估计为 3.3minimax估计 对决策空间中的决策函数d1(X),d2(X),...，分别求出在上的最大风险值 在所有的最大风险值中选取相对最小值，此值对应的决策函数就是最小最大决策函数。 4假设检验 4.1基本概念：零假设(H0)与备选假设(H1)、检验规则、两类错误、势函数 零假设通常受到保护，而备选假设是当零假设被拒绝后才能被接受。 检验规则：构造一个统计量T(X1,X2,...,X3)，当H0服从某一分布，当H0不成立时，T的偏大偏小特征。据此，构造拒绝域W 第一类错误（弃真错误）： 第二类错误（存伪错误）： 势函数： 当时，为犯第一类错误的概率 当时，为犯第二类错误的概率 4.2正态总体均值与方差的假设检验：t检验、X2检验、F检验、单边检验 一个总体的情况： 已知，检验： 未知，检验： 已知，检验： 未知，检验： 两个总体的情况：， 未知时，检验： 未知时，检验： 单边检验：举例说明，已知，检验： 构造，给定显著性水平，有。当H0成立时，因此。故拒绝域为 4.3非参数假设检验方法：拟合优度检验、科尔莫戈罗夫检验、斯米尔诺夫检验 拟合优