《线性代数课件4-3向量组的秩》课件.pptVIP

§3 向量组的秩 （1）理解向量组最大无关组与秩的概念； （2）了解矩阵的秩与其行（列）向量组的秩之间的关系； （3）掌握求向量组的秩、矩阵的秩，以及求最大无关组的方法. 目的要求 引例：判定向量组及其部分组的线性相关性 线性相关的部分组 线性无关的部分组 线性相关 注解： 对于一个线性相关的向量组来说 a.其部分组可能线性相关，也可能线性无关； b.若存在部分无关组，则必有含向量个数最多 的无关组，称其为最大（线性）无关组， 且最大无关组可能不唯一。 最大无关组的第一种定义 如果在向量组 A 中有 r 个向量 ⑴ 向量组 a1 , a2 ,……, ar ⑵ 向量组 A 中任意 r +1 个向量（若有） 那么称向量组 a1 , a2 ,……, ar 向量组A 的秩. 简称为最大无关组. 是向量组 A 线性无关 都线性相关. 的一个最大线性无关向量组， a1 , a2 ,……, ar 满足条件： r 称为 注意： a. 零向量组没有最大无关组； b. 一个线性无关向量组本身就是最大无关组； c. 含非零向量的向量组必有最大无关组； 一般最大无关组不唯一。 的最大无关组. 如果向量组的秩是r, 注： 线性无关的向量都可以是它的 那么此向量组的任意r 个 一个最大无关组. 都是向量组 A 解 线性无关 中任意n+1个向量线性相关 因此向量组E是 的一个最大无关组 的秩是n. 向量组的秩的求法： 证 设矩阵A n×m = ( a1 , a2 ,……, am ), Dr 所在的 r 个列向量 又由于A 中所有的 r +1 阶子式都为0， 所以 A的列向量组的秩等于 r . 因此, Dr 所在的 r 列是 A 的列向量组的一个 则存在一个r阶子式 Dr≠ 0 . 且 R(A) = r, 定理1 矩阵的秩等于它的列向量组的秩， 也等于它的行量组的秩. 线性无关. A 中的任意 r +1个列向量都 线性相关. 最大无关组 . 定理的证明过程说明 例4 求A的列向量组一个最大无关组: 求下列向量组的一个最大无关组 一个最大无关组. 定理2 向量组与它的最大无关组是等价的. 向量组中的每个向量 都能由该向量组线性 证： 因此最大无关组能由该向量组线性表示； 在最大无关组中添一个向量变成线性相关； 所添向量也能由最大无关组线性表示； 因此该向量组能由最大无关组线性表示； 综上所述，向量组与它的最大无关组是等价的. 表示， 推论 向量组的任意两个最大无关组等价。 向量组的最大无关组的等价定义： 如果在向量组 A 中有 r 个向量 (1) 向量组 a1 , a2 ,……, ar (2’) 向量组 A 中任意 向量 那么向量组 a1 , a2 ,……, ar 线性表示 ； 是向量组 A 的一个 线性无关； 都能由a1 , a2 ,……, ar. 最大无关组. a1 , a2 ,……, ar 满足条件： 例4 求下列向量组的秩和它的一个最大无关组， 并把不属于最大无关组的向量用最大无关组 线性表示. 的一个最大无关组； (3)不属于最大无关组的向量有 最大无关组； 的一个 小结： 1、最大无关组的定义： （1）向量组A0线性无关， 已知向量组A，若存在r个向量的向量组A0 （2）任意r+1个向量线性相关或者每个向量 则向量组A0是向量组A的最大无关组. 能由向量组A0线性表示， 小结： 2、最大无关组的求法： 构成矩阵 （1）由向量组 （2）利用初等行变换将A化成行最简形； （4）由行最简形中非零首元1所在列找对应的原矩阵A中相应列构成向量组A0是向量组A的最大无关组； （3）则非零行行数为A的秩； （5）不属于最大无关组的向量由最大无关组表示系数为对应的行最简形中列在台阶上方的数. 练习： 求 并把不属于最大无关组的向量用最大无关组 线性表示. 的列向量组的秩和它的一个最大无关组， 解： 的最大无关组； 谢谢！