第4篇线性控制系统复域分析法.ppt

式(4-1)表明，闭环极点随变量k的变化而变化，从而影响系统的瞬态响应，系统具有不同的动态过程。因为系统闭环极点的位置影响系统的瞬态响应及品质指标。其中， (1) 当k =0时；系统特征根s1=0,s2= -2，与开环极点重合。 (2) 当0k0.5时，系统特征根s1,s2均为负实根，系统呈过阻尼状态，阶跃响应单调变化。 (3) 当k =0.5时，s1=s2= -1，两根重合，其阶跃响应为临界阻尼状态。 (4) 当0.5k?时，系统特征根sl,s2为一对共轭复根，且实部为负，虚部随k增大而增大。系统呈欠阻尼状态，阶跃响应为衰减振荡过程。 当 k从0??变化时，系统特征根在s平面上移动的轨迹如图4-2所示，箭头表示k增大的方向。对应的阶跃响应曲线如图4-3所示。 由此可见，当 k由0至?变化时，特征根s1,s2均在s平面的左半平面，因此，系统对所有k值均是稳定的。但是系统在不同的k值下，其动态特性不同，为了使系统尽可能稳、准、快地结束，应多次改变k值，以调节闭环极点在s平面的位置，达到寻求理想的输出特性曲线的目的。但每改变一次k值，需重新求解一次闭环特征方程，这使得系统的分析、计算工作量很大，特别是当系统高于三阶时，求解特征根是相当困难的，尤其是当参数变化时，要求出特征方程的根，就更加困难了。 为了减少多次求解代数方程的工作量，1948年埃文斯(W.R.Evans)提出了根轨迹分析法，这种方法不直接求解特征方程，而是根据反馈控制系统开、闭环传递函数之间内在联系，提出一种在s平面上，根据系统开环零、极点的分布，用几何作图的方法，确定闭环系统特征方程根的图解方法。 根轨迹中的可变参数，实际上可取开环传递函数中的任何变量作为可变参数，如根轨迹增益k或开环零、极点zj和pi或时间常数?j和Ti，但通常取根轨迹放大系数k或开环增益K作为可变参数。以后如无特别说明，就假设可变参数为根轨迹放大系数k或开环增益K，它们是一一对应的线性正比关系。 3. 根轨迹分析法 根轨迹分析法就是利用根轨迹对系统进行分析和设计的一种图解方法。该方法利用特征根在s平面上的位置，分析系统参数变化对系统特征根的影响，从而根据系统特征根位置与瞬态响应的关系，可直观地分析系统参数与系统的稳态响应和瞬态响应的关系。 4.1.2 根轨迹的基本条件 1．根轨迹的基本方程 设系统如图4-4所示，其闭环传递函数为 可见，当系统中某个参数从0?+?变化时，满足式(4-2)的所有s值，都是闭环传递函数的极点。把这些闭环极点在s平面上按顺序连接起来，就是系统的根轨迹。因此式(4-2)称为控制系统根轨迹的基本方程，其可以写成如下形式 对于系统中某个参数从0?+?变化时，满足以上两式的所有s点，均为闭环极点，也就是根轨迹上的所有点。复平面上的s点如果是闭环极点，那么它与开环零、极点所组成的向量必须满足式(4-4)幅值条件和式(4-5)相角条件。 以上两式是绘制系统根轨迹及应用根轨迹分析和设计控制系统的重要依据。 如将开环传递函数写成零、极点形式 复平面上的s点如果是闭环极点，那么它与开环零、极点所组成的向量必须满足式(4-8) 幅值条件和式(4-9)相角条件。由于根轨迹的幅值条件与根轨迹增益k有关，而相角条件与k无关。所以在绘制根轨迹时，一般先用相角条件确定轨迹上的点；然后利用幅值条件确定根轨迹上该点对应的k值；最后将复平面上所有满足相角条件的点s顺序连成曲线，这种方法被称为试探法。 根据幅值条件与相角条件，采用试探法尽管可逐点精确绘制根轨迹，但它很麻烦，需要在s平面上任选足够多的实验点，来根据相角条件判断是否为根轨迹上的点，计算量大，不便于人工绘制，仅适用于计算机绘制。所以，人们根据相角条件和幅值条件推导出了若干绘制根轨迹的规则，利用这些规则可以简捷绘出根轨迹的大致图形，并为精确绘制根轨迹指明方向。 4-2 绘制根轨迹的基本规则 本节仅讨论当系统根轨迹增益k变化时，根据相角条件和幅值条件绘制根轨迹的一般规则。这些基本规则，对于系统其它参数变化时，经过适当变换仍然可用。 4.2.1 负反馈系统的根轨迹 在绘制根轨迹前，首先将系统的开环传递函数表示成如式(4-6)所示的零、极点形式，且在s平面上，用”o”表示开环零点zj(j=1,2,…,m)的位置；用”?”表示开环极点pi(i=1,2,…,n)的位置。 1．根轨迹的分支数、对称性和连续性 当根轨迹增益k从0?+?连续变化时，每个闭环极点的变化都在s平面上形成一支连续变化的曲线，这些曲线被称为根轨迹的