(逻辑学课课件）谓词逻辑.ppt

* * * * * * * * * * * 再证从┐?x┐A（x）可以得到?xA（x）： ┐?x┐A（x） ?xA（x） （1）{1} ┐?x┐A（x） P （2）{2} ┐A（x） P，x带标记 （3）{2} ?x┐A（x） ?+（2） （4）{ } ┐A（x）→ ?x┐A（x） D（2）、（3） （5）{1} A（x） T（1）、（4） （6）{1} ?xA（x） ?+（4） 在以上的推导中，（2）式即前提2是附加引入的前提；（3）式的导出仅依赖前提2。对（2）、（3）式运用规则D而导出（4）式，（4）式的导出不依赖任何前提，或者说依赖空前提集。这种可以从空前提集中导出的命题形式是普遍有效式，称为【逻辑定理】。 利用以上结果，不难证明?x┐A（x）和┐?x┐A（x）也是可以互推的。 因此，?xA（x）和┐?x┐A（x）是等值的；?xA（x）和┐?x┐A（x）也是等值的。 根据等值置换规则（证明略），在推导中，我们可以用┐?x┐A（x）来置换?xA（x），即用存在量词消去全称量词；也可以用┐?x┐A（x）来置换?xA（x），即用全称量词来消去存在量词。这说明，在谓词逻辑中刻画量化，全称量词和存在量词二者中有一个就够了，其中任意一个都可以由另一个加以定义。 五、量词规则总结 【特指个体常项】：从?xA（x）依据存在消去规则得到A（α），α称为特指个体常项。 【带标记的自由个体变项】：在一个推导中，在前提中出现的自由个体变项，称为带标记的自由的个体变项。并且，一个在前提中是自由的个体变项，如果在依赖于该前提的任意一行中自由出现，那么它也是带标记的。 【作为下标出现的自由个体变项】：从?xA（x）依据存在消去规则得到A（α），其中，α必须以A中出现的自由个体变项作为下标。 （一）专门概念 （二）量词规则 【全称消去规则（ ?_ ）】：在一个推导中，从?xA（x），可以得到A（t）（t表示任意的个体常项或个体变项）。如果t是个体变项，则不在A中被约束。 【全称添加规则（?+）】：在一个推导中，A（x）可以得到?xA（x），须满足两条限制：第一，x不带标记；第二，x不是在A中作为下标出现的变项。 【存在消去规则（ ?_ ）】：在一个推导中，从?xA（x）可以得到A（α）。这里α在推导的先行步骤中未出现，并且α须以?xA（x）中出现的所有自由个体变项作为下标。 【存在添加规则（ ?+）】：在一个推导中： （1）从A（x）可以得到?xA（x）。 （2）从A（α）和A（a）可以得到?xA（x）。这里，A（x）是在A（α）或A（a）中以x取代α或a的部分或全部出现得到的。并且：第一，x不是A中的约束个体变项；第二，x不是A中作为下标出现的变项；第三，x不是带标记的变项。 （三）两个注意点 （1）只有当量词位于整个符号表达式之首并且它的辖域是整个公式时，才能使用消去规则。 （2）在推导中，一般先消去存在量词，再消去全称量词。 六、量化推理式的无效性的判定 命题逻辑中推理形式无效性的判定，如同其形式有效性的判定一样，是解决了的。一个命题推理是无效的，当且仅当它的真值形式不是重言蕴涵式。 那么，在谓词逻辑中，如何判定一个量化推理形式无效？ 在量化自然推理中，如果构造某个或若干全推导，从给定的前提无法推出预期的结论，能否因此断定该推理形式无效？不能。因为上述情况只能说明没有判定推理的有效，不能说明已经判定了推理的无效。 判定量化推理无效性的通常方法是解释的方法。如果我们能找到所要判定的推理形式的一个解释，使得在该解释下前提真而结论假，那么该推理就是无效的。 【例】用解释方法判定下面的推理无效： 马不是牛，所以，马头不是牛头。 令M（x）表示“x是马”，N（x）表示“x是牛”，T（x，y）表示“x是y的头”。 则前提“马不是牛”的表达式是?x（M（x）→┐N（x））；结论“马头不是牛头”的表达式是?x（ ? y（M（y）?T（x，y）)→ ┐?y（N（y）?T（x，y）））。 令M（x）表示“x是湖南人”，N（x）表示