第1章(第二部分)线性系统动态分析.ppt

第1章 动态系统的状态空间描述 (第二部分) 1.5 线性定常齐次状态方程的解 1.6 状态转移矩阵的性质及其计算方法 1.7 线性定常非齐次状态方程的解 1.8 线性时变系统状态方程的解 1.9 离散状态方程的解 1.10 连续状态方程的离散化 1.11 MATLAB在线性系统动态分析中的应用 对线性系统动态性能进行定量分析实质上是求解其动态数学模型方程并分析解的性质，有传递函数法和状态空间分析法两种方法。状态空间分析法是现代控制理论的主要分析方法，其直接将系统的微分方程或差分方程化为描述系统输入、输出与内部状态关系的动态数学模型——状态方程，运用矩阵方法求解状态方程，直接确定其动态响应，研究系统状态方程的解法及分析解的性质是现代控制理论的主要任务之一。 1.6．2线性定常系统状态转移矩阵的计算方法 ■ 级数展开法 ■ 拉普拉斯变换法 ■ 利用特征值标准型及相似变换计算 ■ 化为A的有限项多项式计算 1.8.1 线性时变系统状态转移矩阵的求解 1.8.2 线性时变系统状态转移矩阵的性质 1.8.3 线性时变非齐次状态方程的解 1. 11 MATLAB在线性系统动态分析中的应用 1.11. 1 应用MATLAB计算线性定常系统的矩阵 指数(状态转移矩阵) 1.11. 2 应用MATLAB 求定常系统时间响应 1.11.3 应用MATLAB 变连续状态空间模型为离 散状态空间模型 由式（1-42），连续系统状态方程的解为 上式中，令 ， ，有 （1-85） 由于假设在一个采样周期内输入信号保持不变，即 故式（1-85）中的 与式（1-84）中的等效差分型状态方程比较得 且可提到积分号外，并 （1-86） 式中 （1-87） （1-88） 在式（1-88）中，引入新积分变量 ， 则式（1-88）简化为 （1-89） 式（1-86）、式（1-87）、式（1-89）为线性定常连续状态方程离散化公式，显然G（T）和H（T）与采样周期有关，当采样周期T确定后，其为常数阵。 1.10.2 线性时变连续状态方程的离散化 仿照定常系统，线性时变连续状态方程离散化仍采用周期采样的离散方式，采样周期为T，同时采用零阶保持器。 设线性时变连续系统状态空间表达式为 （1-90） 由式（1-68）知，式（1-90）中的状态方程的解为 （1-91） 式中，令 ， ，且注意到 （基于输入是零阶保持器输出的假设），有 式中 （1-93） （1-94） （1-92） 式（1-92）、式（1-93）、式（1-94）即为线性时变连续状态方程离散化公式，而输出方程的离散化可以 代入式（1-90）中的连续输出方程直接得出 （1-95） 由于线性时变连续状态方程的状态转移矩阵 通常得不到闭合形式的解析式，为此在采样周期很小且计算精度要求不高的前提下，常采用式（1-96）所示的近似离散化状态方程，即 （1-96） 可见，采用近似离散化方法， 、 分别可近似表示为 （1-97） （1-98） 显然，采样周期越小，近似离散化的精度越高。以上近似离散化方法显然也适用于线性定常连续系统。 【例1-11】系统结构图如图1-3所示。 图1-3 系统结构图 1) 试求系统离散化的状态空间表达式； 2)试求当采样周期T=0.1s，输入为单位阶跃函数，且初始状态为零时的离散输出 。 解 （1）连续被控对象的传递函数为 连续被控对象的状态空间表达式可按能控标准型列出，即 由例1-4知，上式对应的状态转移矩阵为 由图1-3知，连续被控对象的输入是零阶保持器 的输出，满足式（1-86）的假定前提，则据式（1-87）、式（1-89）得 故连续被控对象的离散化状态空间表达式为 由系统结构图可见， ，又 ，则 ，将其代入连续被控对象的离散化状态空间表达式可得闭环系统离散化的状态空间表达式为 （2）令采样周期T=0.1s，闭环系统离散化的状态空间表达式为 由题意， 为单位脉冲序列1(k), 初始状态为零，现采用递推法求状态方程的序列解为 则离散输出 为