第六篇 章 能带理论 中国科技大学研究生课程《固体物理》讲义ppt .ppt

第六章 能带理论; Born－Oppenheimer绝热近似：所有原子核都周期性 地静止排列在其格点位置上，因而忽略了电子与声子 的碰撞。;§6.1 Bloch定理;U(r) = U(r+Rl)为周期性势场， Rl=l1a1+l2a2+l3a3为格矢 ;因为f(r)是任意函数，所以，T?T?－ T? T?=0，即T?和T?可对易。;定义一个新函数：;这表明uk(r)是以格矢Rl为周期的周期函数。; 如果两个波矢量k和k’相差一个倒格矢Gn，这两个波矢所对应的平移算符本征值相同。; 简约波矢：k限制在简约区中取值；;在简约区中，波矢k的取值总数为;晶体中电子：; Bloch函数中，行进波因子 描述晶体中电子的共有化运动，即电子可以在整个晶体中运动；而周期函数因子 则描述电子的原子内运动，取决于原子内电子的势场。 ; 电子能带的形成是由于当原子与原子结合成固体时，原子之间存在相互作用的结果，而并不取决于原子聚集在一起是晶态还是非晶态，即原子的排列是否具有平移对称性并不是形成能带的必要条件。 ;§6.2 一维周期场中电子运动的近自由电子近似;周期性势场：;1. 非简并微扰;分别对电子能量E(k)和波函数?(k)展开;相应归一化波函数：; k’ = k;二级微扰能量：;电子的能量：;其中; 若行进平面波的波长?＝2?/?k?正好满足条件2a＝n ? ，  相邻两原子所产生的反射波就会有相同的位相，它们 将相互加强，从而使行进的平面波受到很大干涉。;由上式可求得;在布里渊区边界上:;零级近似的波函数也必须写成;{;解得;(1) ;(2);{;Ek’(0);§6.3 三维周期场中电子运动的近自由电子近似;零级近似：;与一维情况类似，一级微扰能量为;其中; 在布里渊区边界的棱边上或顶点上，则可能出现能量 多重简并的情况。对于g重简并，即有g个态的相互作用  强，其零级近似的波函数就需由这g个相互作用强的态 的线性组合组成，由此解出简并分裂后的g个能量值。;例：在简单立方晶格的简约区中的M点（即简约区棱边 的中点），;这四个态的零级能量分别为; 根据立方晶体的点群对称性，在U(Gn)中倒格矢Gn的各指数互换位置或改变符号，应具有相等的U(Gn)。; 只要给出U(r)的具体形式，即可求出其相应的各Fourier系数，再由上式的Secular方程求出简并分裂后的各能量值。;二、布里渊区与能带;1. En(k)函数的三种图象; 简约布里渊区图象：; 周期布里渊区图象：;2. 能带重叠的条件;§6.4 紧束缚近似（TBA）; 紧束缚近似方法的一个突出优点是它可以把晶体中电子的能带结构与构成这种晶体的原子在孤立状态下的电子能级联系起来。;第l个孤立原子的波动方程：; 紧束缚近似是把原子间的相互影响当作微扰的简并微扰法。微扰后的状态是由这N个简并态的线性组合组成，即用原子轨道的线性组合来构成晶体中电子共有化运动的轨道。这种方法也称为原子轨道的线性组合法，简称LCAO（Linear Combination of Atomic Orbitals）。;以?j*(r-Rn)同时左乘方程两边，再积分;这是关于未知数an (n = 1, 2, … , N)的线性齐次方程组。;对于一个确定的k，电子运动的波函数为;考虑周期性边界条件，k的取值为;?j(r-Rs)和?j(r)表示相距为Rs的格点上的原子波函数，显然积分值只有当它们有一定相互重叠时，才不为零。;例1：求简单立方晶体中由原子的s态所形成的能带;在简单立方晶格的简约区中;?点：能带底；R点：能带顶; 对于p电子、d电子等，这些状态都是简并的，因此，其Bloch???数应是孤立原子的有关状态波函数的线性组合。;{;＋;二、原子能级与能带的对应;在某些情况下还可能出现不同原子态的相互作用。如：Si的价带与导带。;;;;