算术平均数和众数.ppt

统计学导论 湖南大学 金融与统计学院 第三章 数据分布特征的描述 第一节 统计变量集中趋势的测定 第二节 统计变量离散程度的测定 第三节 变量分布的偏度与峰度(选学) 第一节 统计变量集中趋势的测定（袁卫等《统计学》P24”2.2分布集中趋势的测度”） 一、测定集中趋势的指标及其作用 二、数值平均数 三、众数与中位数 四、切尾均值 一、测定集中趋势的指标及其作用 集中趋势(Central tendency)：是指较大和较小的观测值出现的频率比较低，大多数观测值密集分布在中心附近，使得全部数据呈现出向中心聚集或靠拢的态势。 测度集中趋势的指标 测定集中趋势指标的作用 1．反映变量分布的集中趋势和一般水平。 如,用平均工资了解职工工资分布的中心，反映职工工资的一般水平。 2．可用来比较同一现象在不同空间或不同阶段的发展水平。 消除了总体规模大小的影响，具有可比性; 在一定程度上使偶然因素的影响相互抵消。 测定集中趋势指标的作用 3．可用来分析现象之间的依存关系。 如,研究劳动者的文化程度与收入的关系。 4．平均指标也是统计推断中的一个重要统计量，是进行统计推断的基础。 二、数值平均数 （一）算术平均数（均值，袁卫等《统计学》P26-28） 算术平均数：一组数据的总和除以这组数据的项数所得的结果。 算术平均数是最常用的数值平均数。 1．简单算术平均数 简单算术平均数：把每项数据直接加总后除以它们的项数。 通常用于对未分组的数据计算算术平均数。 计算公式：（袁卫等《统计学》P26） 例3-1 假设某工作队有20个队员，男女各10人，他们的年龄如表3-1所示。求平均年龄。 解：采用简单算术平均法计算，全体队员的平均年龄为（周岁）： 2．加权算术平均数 正确的算式应该是： 权数（fi ，也称权重） 权数——指在计算总体平均数或综合水平的过程中对各个数据起着权衡轻重作用的变量。 权数可以是绝对数形式，也可以是比重形式（如频率）。 3．由组距数列计算算术平均数 解：平均使用寿命为： 4．对相对数求算术平均数 （袁卫等《统计学》没有！） 当对一系列相对数进行平均时，由于各个相对数的对比基础不同，采用简单算术平均通常不合理，需要进行适当的加权。 看一个例子： 5．算术平均数的主要数学性质 （1）算术平均数与变量值个数的乘积等于各个变量值的总和。【教材上没提】 补充：算术平均数的主要数学性质 （4）若为a、b为常数，y=a+bx ，则有： （二）调和平均数（Harmonic mean）(袁卫等《统计学》没有！) 调和平均数也称为倒数平均数。它是各变量值的倒数（1/xi）的算术平均数的倒数。 其计算公式为： 社会经济统计中所应用的调和平均数通常是加权算术平均数的变形。 已知各组变量值 xi 和（xi fi）而缺乏 fi 时，加权算术平均数可以变形为调和平均数形式来计算。 换句话，当被平均的变量（xi）是相对数（或平均数），而且已知的数据是变量值（xi）以及分子指标（xi fi）时，应采用分子指标对被平均的变量值加权调和平均来计算平均数。 看一个例子： （三）几何平均数（Geometric mean） 几何平均数：n个变量值连乘积的n次方根。【袁卫等《统计学》P29将其记作“G”】 （三）几何平均数（Geometric mean） 例3-5 某企业产品的加工要依次经过前后衔接的五道工序。本月该企业各加工工序的合格率分别为88％、85％、90％、92％、96％，试求这五道工序的平均合格率。 解： 三、众数与中位数 （一）众数（Mode）(见袁卫等《统计学》P24) 众数是一组数据中出现频数最多、频率最高的变量值，常用 M0 表示。 众数代表的是最常见、最普遍的状况，是对现象集中趋势的度量。 可以用来测度定性变量的集中趋势； 例：销售量最大的产品颜色是“白色”，则有M0＝“白色” 也可以度量定量变量的集中趋势。 从分布曲线的角度看，众数就是变量分布曲线的最高峰所对应的变量值。 组距数列中众数的确定 先找到众数组。 在等距数列中，众数组就是次数最多的组； 在异距数列中，众数组应是频数密度最大的组。 然后根据众数组与其相邻两组的次数差来推算。 其近似公式为： （见袁卫等《统计学》P24） （二）中位数（Median） 中位数是将数据由小到大排列后位置居中的数值。(见袁卫等《统计学》P25) 由未分组数据计算中位数 由组距数列计算中位数 先确定中位数组，即中间位置（用Σf/2来计算）所在的组。 假定中位数组内次数均匀分布（次数与变量值的区间大小成比例），则可以近似推算中位数的值。 计算公式为： 四分位数、十分位数和百分位数 四分位数:是将数据由小到大排序后，将全部数据4等分的三个数值。 十分位数:是将数据由小到大排序后，将全部数据1