8-1多元函数的基本概念及性质.ppt

第八章 第一节 例3. 讨论函数 例4 求： 解:这里 例6. 求 3. 多元函数的极限 性质1 （最大值和最小值定理） 一点P2，使得f (P1)为最大值而f( P2)为最小值，即对于 推广 一元函数微分学 多元函数微分学 注意: 善于类比, 区别异同 多元函数微分法 及其应用 一、平面点集 三、多元函数的概念 四、多元函数的极限 五、多元函数的连续性 二、n维空间 多元函数的基本概念及性质 一、平面点集 1. 邻域 点集 称为点 P0 的?邻域. 例如,在平面上, (圆邻域) 在空间中, (球邻域) 说明：若不需要强调邻域半径? ,也可写成 点 P0 的去心邻域记为 在讨论实际问题中也常使用方邻域, 平面上的方邻域为 因为方邻域与圆 邻域可以互相包含. 。 2. 区域 (1) 内点、外点、边界点 设有点集 E 及一点 P : ? 若存在点 P 的某邻域 U(P)? E , ? 若存在点 P 的某邻域 U(P)∩ E = ? , ? 若对点 P 的任一邻域 U(P) 既含 E中的内点也含 E 则称 P 为 E 的内点； 则称 P 为 E 的外点 ; 则称 P 为 E 的边界点 . 的外点 , 显然, E 的内点必属于 E , E 的外点必不属于 E , E 的 边界点可能属于 E, 也可能不属于 E . (2) 聚点 若对任意给定的? , 点P 的去心 邻域 内总有E 中的点 , 则 称 P 是 E 的聚点. 聚点可以属于 E , 也可以不属于 E (因为聚点可以为 E 的边界点 ) D (3) 开区域及闭区域 ? 若点集 E 的点都是内点，则称 E 为开集； ? 若点集 E ??E , 则称 E 为闭集； ? 若集 D 中任意两点都可用一完全属于 D 的折线相连 , ? 开区域连同它的边界一起称为闭区域. 则称 D 是连通的 ; ? 连通的开集称为开区域 ,简称区域 ; 。 。 ? E 的边界点的全体称为 E 的边界, 记作?E ; 例如，在平面上 开区域 闭区域 ? ? ? ? ? 整个平面 ? 点集 是开集， 是最大的开域 , 也是最大的闭域； 但非区域 . o ? 对区域 D , 若存在正数 K , 使一切点 P?D 与某定点 A 的距离 ?AP?? K , 则称 D 为有界域 , 界域 . 否则称为无 O x y O x y O x y O x y 有界开区域 有界半开半闭区域 有界闭区域 无界闭区域 二、 n 维空间 n 元有序数组 的全体称为 n 维空间, n 维空间中的每一个元素 称为空间中的 称为该点的第 k 个坐标 . 记作 即 一个点, 当所有坐标 称该元素为 中的零元, 记作 O . 的距离记作 中点 a 的 ? 邻域为 规定为 与零元 O 的距离为 三、多元函数的概念 引例: ? 圆柱体的体积 ? 定量理想气体的压强 ? 三角形面积的海伦公式 定义1. 设非空点集 点集 D 称为函数的定义域 ; 数集 称为函数的值域 . 特别地 , 当 n = 2 时, 有二元函数 当 n = 3 时, 有三元函数 映射 称为定义 在 D 上的 n 元函数 , 记作 例如, 二元函数 定义域为 圆域 说明: 二元函数 z = f (x, y), (x, y) ? D 图形为中心在原点的上半球面. 的图形一般为空间曲面 ? . 三元函数 定义域为 图形为 空间中的超曲面. 单位闭球 二元函数的几何意义 研究单值函数 二元函数的图形通常是一张 曲面.如球面等 四、多元函数的极限 定义2. 设 n 元函数 点 , 则称 A 为函数 (也称为 n 重极限) 当 n =2 时, 记 二元函数的极限可写作： P0 是 D 的聚 若存在常数 A , 对一 记作 都有 对任意正数 ? , 总存在正数? , 切 说明 (1) 定义中 (2) 二元函数的极限也叫 (double limit) 的方式是任意的； 二重极限. (3) 可推广到n元函数. 例1+. 设 求证： 证: 故 总有 要证 ? 若当点 趋于不同值或有的极限不存在， 解: 设 P(x , y) 沿直线 y = k x 趋于点 (0, 0) , 在点 (0, 0) 的极限. 则可以断定函数极限 则有 k 值不同极限不同 ! 在 (0,0) 点极限不存在 . 以不同方式趋于 不存在 . 函数 的定义域为D={(x , y)| x≠0, y?R} 点P0(0,2)为D的聚点． 由极限运算法则得 解: 因 而 此函数定义域 不包括 x , y 轴 则 故 例5+ 仅知其中一个存在, 推不出其它二者存在. ? 二重极限 不同. 如果它们