使方程中不含输入u的导数项方法很多.ppt

* 现代控制理论基础 * 1.3 微分方程与状态空间表达式之间的变换 对于单输入单输出系统，描述其运动规律的数学模型有三种常用形式： 传递函数 微分方程 状态空间表达式 这三种形式是可以相互转换的，下面讨论它们与状态空间表达式之间的相互转换，本节讨论微分方程与状态空间表达式的相互转换。 * 一.输入项中不含有导数项： 假设单输入单输出线性系统的微分方程为： D-E y (n) + a1 y (n?1) + … + an?1 y ?+ an y = b u S-E：状态空间表达式为： 对n阶系统要设n个状态变量，并且已知y(0), y?(0), … , y n?1(0)，以及输入u就能惟一确定状态，故按状态变量定义，可直接按初始条件选状态变量-按y和y的各阶导数选取一组状态变量:相变量。 * 令 x1 = y x2 = y ? … xn?1= y (n?2) xn= y (n?1) 即 * 其中：A为一种规范形称为友矩阵，输入矩阵的特点是，其最后一行元素由方程系数取负号组成;其他各行除第一列元素全为0外,剩余各元排列为(n-1)阶单位阵-伴随矩阵。D=0无直联通道。 * 例：D-E y ?? + 6y ?+ 11y ?+ 6y = 6u ? S-E 解：直接按能控标准形写出： a1 = 6 a2 = 11 a3 = 6 b = 6 * * 二.输入项中包含有导数项： 可见最后一个方程中含有u的导数项。 若按相变量法选状态，则出现解的不唯一性。 * 以上问题导致系统的运动在所选状态空间中会出现无穷大跳变：若u =1(t)，则u ?= ?(t), … , u(n) = ?(n?1)(t)，将是高阶脉冲函数，从而不能唯一确定系统的状态，因此在这种情况下，不能用相变量来求解该系统运动，而应寻求一种方法，使方程中不含输入u的导数项。方法很多，下面介绍一种常用方法： 方法二： 首先引入中间变量z，令： * 微分方程与下图等效： 将上图分解得到下图： （不含导数情形） * 若先状态变量为： 对于： * * * 而输出方程为： * 这种形式的状态空间表达式中A, B，所具有的特殊形式，称为能控标准型。 注：以上D-E的规定形式中左端，首项系数为1，变换时应注意整理。 但在实际系统中，一般输入的阶次低于输出的阶次，即b0 = 0，故输出方程可简化为： * 例 将以下高阶微分方程： y ?? + 4y ?+ 2y ?+ y = u ? + u ?+ 3u 试用方法二写出其状态空间表达式。 解：按方法二，可得： * 方法1： S-E: * 方法1： 其中待定系数为: * 例 将以下高阶微分方程： y ?? + 4y ?+ 2y ?+ y = u ? + u ?+ 3u 试用方法一写出其状态空间表达式。 解：按方法一，可得到不同的结论： * 结 束