微分方程(罗兆富等编)第九章 非线性偏微分方程的Adomian分解法.ppt

2. 非线性克莱因-戈登方程 非线性克莱因-戈登方程的标准形式是 (9.3.02) 其中a是常数, h是自由项, F是u的非线性函数. 例2. 求解非线性偏微分方程 其中u=u(x, t). 解: 将方程写成算子形式 其中 且Ltt是可逆的, 将其逆算子 作用于方程的两端, 并注意到初始条件 得到 从而得到递推公式 .......................... 由第一节的例1, 有 .......................... 计算得到 噪声? 所以方程的精确解为 ■ 例2. 求解非线性偏微分方程 其中u=u(x, t). 3. 正弦-戈登方程 正弦-戈登方程(sine-Gordon equation)的标准形式是 (9.3.03) 其中c,α是常数. 正弦-戈登方程源自微分几何, 后来发现它出现在许多物理现象中. 例如, 电磁流的传播和液体运动的稳定性等. 例3. 求解正弦-戈登方程的初值问题 其中u=u(x, t). 解: 将方程写成算子形式 其中 且Ltt是可逆的, 将其逆算子 作用于方程的两端, 并注意到初始条件 得到 从而得到递推公式 .......................... 由第一节的例4, 有 .......................... 计算得到 .......................... 所以方程的级数解为 ■ 二、伯格斯方程 伯格斯方程(Burgers equation)的标准形式是 (9.3.04) 其中是表示运动粘度的常数. 当粘度时, 方程称为无粘度伯格斯方程. 无粘度伯格斯方程描述空气动力学. 例4. 求解伯格斯方程 其中u=u(x, t). 解: 将方程写成算子形式 其中 且Lt是可逆的, 将其逆算子 于方程的两端, 并注意到初始条件 得到 作用 从而得到递推公式 .......................... 由第一节的例3, 有 ...................................... 计算得到 .......................... 所以方程的级数解为 ■ 三、电报方程 电报方程(telegraph equation)的标准形式是 其中u =u(x, t)是电阻, a, b和c分别是与电缆的电感应、电容和电导率相关的常数. 电报方程描述的是电缆中电信号的传播. (9.3.05) 若a=0, c=0, 我们得到标准热传导方程 三、电报方程 电报方程(telegraph equation)的标准形式是 (9.3.05) 其中u =u(x, t)是电阻, a, b和c分别是与电缆的电感应、电容和电导率相关的常数. 电报方程描述的是电缆中电信号的传播. (9.3.06) 当b=0, c=0, 我们得到标准波动导方程 (9.3.07) (书上有误!) 例5. 求解电报方程 其中u=u(x, t). 解: 将方程写成算子形式 其中 且Lxx是可逆的, 将其逆算子 作用于方程的两端, 并注意到初始条件 得到 从而得到递推公式 .......................... 计算得到 .......................... 所以方程的级数解为 ■ 四、KDV方程 KDV方程(Korteweg-deVries equation)的标准形式是 (9.3.08) KdV方程是1895年由荷兰数学家科特韦格(Korteweg)和德弗里斯(de Vries)在研究浅水槽中小振幅长波运动时共同发现的一种单向运动浅水波偏微分方程(也有人称之为科特韦格-德弗里斯方程, 但一般都习惯直接叫KdV方程). 其中a是常数. 例6. 求解伯格斯方程 其中u=u(x, t). 解: 将方程写成算子形式 其中 且Lt是可逆的, 将其逆算子 于方程的两端, 并注意到初始条件 得到 作用 从而得到递推公式 .......................... 由第一节的例3, 有 ...................................... 计算得到 .......................... 所以方程的级数解为 ■ 我们考虑算子形式的非线性常微分方程