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第八章 回归分析的研究对象 家庭收入与家庭支出的关系 父母身高与子/女身高的关系 平时作业成绩与最后的考试成绩的关系 银行利率与股票指数的关系 经验和统计数据表明某些变量的取值相互之间是有 关系的,不是完全无关的,这种关系称为统计相关关系 §8.1 一元线性回归 一元线性回归的模型: 根据变元（X，Y）的一组观测值 代入上述一元线性回归模型，得： 我们导出了参数的极大似然估计，但是，历史上高尔顿是用我们高等数学中所学过的最小二乘法导出的，因此，一般称之为最小二乘估计 关于上述例1，请大家思考如下问题： 关于问题1：回归方程有什么用途？ 回归方程的主要用途是预测和控制，比如根据上例的回归方程 y = 7.83+2.01x ，我们可以预测 x=2.2(岁）时儿童的体重为: y = 7.83+2.01*2.2=12.252(kg)-----这是y的点估计，我们还可 以得到y的区间估计。 关于问题2:哪些指标可以判断回归的效果？ 如下指标都可以直接或间接用来表示回归的效果： 残差平方和 SSE 估计标准差 相关系数 R 判定系数 修正判定系数 其中p为自变元个数 从例1第二问的结果看，该例回归的效果还是很好的 关于问题3: 能否由体重关于年龄的回归方程： y = 7.83+2.01x , 得出年龄关于体重的回归方程：  x = (y -7.83)/2.01=0.4975y – 3.8955 ？ 不可以。事实上，如果把体重作为自变量年龄作为因变量，代 入一元回归的公式，得：x = 0.4939y – 3.853; 二者为何不同呢？ 因为我们这里介绍的一元回归模型中，自变量与响应变量的地位 是不等同的 还有一种回归，叫距离回归，即通过各散点到回归函数的距离平方和最小来求出回归参数，此时自变量与响应变量的地位是等同的，这种情况下是可以直接从 y关于 x 的回归方程解出 x 关于 y 的回归方程的 关于问题4: 对于任意给定的一组数值（xi, yi) i=1,2,…,n，是否都可以求变量的回归方程？ 可以代入参数最小二乘估计的公式求出变元的回归方程，但 是，如果变元 X 和 Y 没有统计相关关系，这样求出的回归 方程是没有意义的（如气温与股票点数）；而如果回归模型 的三个条件，即正态性，独立性，方差齐性 不满足，我们就 无法对参数的概率特性（分布，区间估计 等）作出判断。 关于问题4: 如何借助计算机算法进行回归分析？ 各种统计软件都有回归分析的功能，比如SAS，SPSS，R，包 括MATLAB的统计包 等，这里我们介绍EXCEL的回归分析功能 对例1中数据的EXCEL回归分析结果： 例2：恩格尔系数（食品支出与收入之比）的估算 已知人均月收入X与人均食品月支出Y的15组抽样数 据如下，求恩格尔系数： 解：利用EXCEL进行回归分析，得： §8.2 多元线性回归 例3：试根据表中居民月收入X1（单位百元）及  某商品的单价X2（单位十元）来拟合该商 品的需求量Y（单位百件）的函数 解：利用EXCEL进行回归分析，得： 需要说明的是： 逐步回归，多元回归参数的检验，预测，参差分析，及应用案例等 略 THE END THANKS 4 15 23 5 13 19 3 12 24 4 10 18 3 10 20 4 9 14 5 9 13 2 8 15 3 7 10 2 5 10 商品单价 X2 月收入 X1 需求 Y * 应用回归分析 现实世界中变量之间的关系并不总是可以用函数关系(自变量确定,因变量唯一)来表示的 比如: 统计相关关系: 回归分析及回归方程: 回归分析就是研究变量间的统计相关关系 一种统计方法. 根据变元的统计数据,用一个函数来近似变 元间的统计相关关系,这个函数叫回归方程或 回归函数 本例中, 父亲身高与儿子身高的关系就是统计相关关系 上述高尔顿得到的近似直线方程就是回归方程 其中,X为确定性变量,它是可以测量和控制的,也称解释变量或自变量; Y为被解释变量或响应变量 重要公式 我们得到的回归方程有什么用？ 根据哪些指标可以判断回归的效果？上述回归的效果如何？ 上例中：年龄为自变量（控制变量），体重为因变量（响应变量），回 归方程为：