有心圆锥曲线上四点的两种不同形式类西摩松线.pdf

2012年 第 51卷 第 9期 数学通报 57 有心圆锥曲线上四点的两种不同形式类西摩松线 张俭 文 (河北省秦皇岛市第五中学 066000) 根据文Ⅲ ，直线 z及其平行线被有心圆锥 曲 1 十 ) ， 一 z 一 丢6(tl--t_】)，(1)7u％jB~ 线L截得弦的中点和曲线 L 的中心都在 同一直 线 z上，直线 叫有心圆锥 曲线L关于直线 Z的共 一 16∑(￡一 ) 轭直径．有心圆锥曲线 中类西摩松线的内容是 ：在 一 些 [z一一1n +t7)] 中心为 0的圆锥 曲线 L上任取三点A、B、c，曲 ． a(t1t2t3+ t。) 4 。 线 L关于直线 BC、CA、AB 的共轭直径分别为 (3) OD、OE、0F，在曲线 L上取异于A、B、C的一点 本文介绍有心圆锥曲线上四点的两种不同形 P，作直线 PM ／／OD、PN ／／OE、PQ／／OF，直线 式 的类 西摩松线 ． PM 与BC、PN 与CA、PQ与AB 的交点分别为 M 、N、Q，M、N、Q三点共线，这条直线 叫圆锥 曲 线 L上△ABC关于点 P 的类西摩松线．在平面 直角坐标系 中，有心 圆锥 曲线 L的方程为 mx + ny一1，其 中m、 都不等于零 ，且至少有一个大 于零．△ABC各 顶 点坐标分别 为 A (z ，Y )、 B(2，Y2)、C(z3，Y3)，点 P 坐标为 P (o，Yo)． ／XABC关于点 P的类西摩松线方程为 一 告∑Y一k(x一1∑z)， (1) 其 中i一0、1、2、3，k为类西摩松线 的斜率．当m— 图 1 a～，—b (其中口bO)，有心圆锥曲线L是 椭 圆，其参数方程为z===acos0，y：bsin0，P、A、 B、c各点的坐标满足 一 acos0，y 一 bsin0， (1)可写成 Y 一 专6∑sin0 一 a[1+cos0(~++一)]c…一一21一窭COS…’ 图 2 (2) 当m—a一，一一6 (其 中a0，6O)，有心圆 1 有心圆锥 曲线上四点的第一种形式类西摩松线 定理 1 在 中心为 。的圆锥 曲线 L上任取 锥曲线 L是双曲线，其参数方程为 一寺n(t+ A 、A。、A。、A 四点 ，在 曲线 L上任取一点 P，点 t )，一÷6(一t叫)，P、A、B、C各点的坐标满足 P关于△AAzA 、△AzA3A 、△ AA1、△AAlAz 的类西摩松线分别为 z、z。、l。、z，曲线 L关于 l、 58