41二元函数及其偏导数的概念.ppt

*第四章 偏导数及其经济应用 * * §4.1 二元函数及其偏 导数的概念 经济现象中，有的经济变量的变化， 由另外两个或两个以上的经济变量的 取值确定。观察下面的案例。 案例4.1某厂生产A、B两种产品的单位可 变成本分别为5元/千克、3元/千克，在生 产过程中还需要支付机器设备维护费等固 定成本60000元。若该厂下月生产A、B两 种产品的产量分别为x、y千克，则该厂下 月生产A、B两种产品的总成本为多少？ 解 设总成本为C，则 案例4.2 （柯布-道格拉斯生产函数）经济 学中，生产的产量 的多少，由生产过 程中消耗的各种生产要素确定，在约定其 它生产要素不变的条件下，产量 主要 由投入的劳动量 和资本量 这两种生产 要素确定。其函数可表示如下： 经济学中称为生产函数。著名的 柯布-道格拉斯生产函数 就是生产函数的一种具体形式，其中 与 是常数，且 二元函数定义 定义4.1 对于两个变量 、 在平面点集 内的每一对值（即 ），另一个变量 有惟一确定的值与之对应，称变量 为定 义在 上的二元函数，、为自变量， 为定 义域。记为 （4.1） 若用 表示点 ，则（4.1）式也可记为 类似地，若 为三维空间的点集，则称 为三元函数。二元以上的函数统称为多元 函数。本书主要研究二元函数。 案例4.3 消费者行为理论中的效用函数。消费 者从消费的几种商品中获得的满足程度称 为效用。设消费者从消费 商品的数量 和 消费 商品的数量 中获得的总效用为 ， 则总效用 与两种商品的消费量 、 间的关系即为效用函数，记为 偏导数定义 定义4.2 对于二元函数（4.1）若固定 取值 ，只有 变化，则 为 的一元函数，若此一元函数在 的导数 （4.2） 存在，则称此导数（4.2）为二元函数（4.1） 在点 处对的 偏导数。记为 （4.3） 类似地，可定义二元函数（4.1）在点 处对 的的偏导数 为导数 经济学研究二元经济函数时，常将一个自变 量固定取某个值，而研究经济函数对另一个自变 量的变化率，即经济函数对另一个自变量的偏导 数， 也称为经济函数对这另一个自变量的边际 变化。