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三角函数及反三角函数之积分
三角函數及 反三角函數之積分
內容大綱
Ι. 三角函數之積分(變數變換法)
Ⅱ. 反三角函數之積分(變數變換法)
Ⅲ. 部份積分法(應用於三角及反三角函數)
I.三角函數之積分(變數變換法)
例1. Evaluate p 2
Ú0 sin xdx
(解) p 2 p Ê 1 - cos 2 x ˆ
I = sin xdx = dx
Ú0 Ú0 Á 2 ˜
Ë ¯
p 1 p p 1 p
= - Ú0 cos 2 xdx = - [sin 2 x]0
2 2 2 4
p 1 p
= - (0 - 0 ) =
2 4 2
例2. 4
Find Ú sin xdx
(解) 4
I = sin xdx
Ú
2 2 1 - cos 2 x 2
= (sin x ) dx = ( ) dx
Ú Ú 2
1 2
= ( 1 - 2 cos 2 x + cos 2 x ) dx
4 Ú
x 1 1 2
= - sin 2 x + Ú cos 2 xdx + C
4 4 4
x sin 2 x 1
= - + Ú ( 1 + cos 4 x ) dx + C
4 4 8
x sin 2 x x 1
= - + + sin 4 x + C
4 4 8 32
3p sin 2 x sin 4 x
= - + + C
8 4 32
2 (cos 2q + 1)
註：要點是利用 cos q = 2
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