【2017年整理】线性代数试卷.doc

《线性代数》模拟试题（一） 一、单项选择题（每小题3分，共27分） 1. 对于阶可逆矩阵，，则下列等式中（ ）不成立. (A) (B) (C) (D) 2. 若为阶矩阵，且，则矩阵（ ）. （A） （B） （C） （D） 3. 设是上（下）三角矩阵，那么可逆的充分必要条件是的主对角线元素为（ ）. (A) 全都非负 （B） 不全为零 （C）全不为零 （D）没有限制 4. 设 ，，，，那么（ ）. （A） （B） （C） （D） 5. 若向量组线性相关，则向量组内（ ）可由向量组其余向量线性表示. （A）至少有一个向量 （B）没有一个向量 （C）至多有一个向量 （D）任何一个向量 6. 若，其秩（ ）. （A）1 （B）2 （C）3 (D) 4 7. 若方程组中方程的个数小于未知量的个数，则有（ ）. （A）必有无穷多解 （B）必有非零解 （C）仅有零解 （D）一定无解 8. 若为正交阵，则下列矩阵中不是正交阵的是（ ）. （A） （B） （C） （D） 9. 若满足条件（ ），则阶方阵与相似. （A） （B） （C）与有相同特征多项式 （D）与有相同的特征值且个特征值各不相同 二、填空题（每空格3分，共21分） 1. 若向量组线性无关，则向量组是线性 . 2. 设为4阶方阵，且，是的伴随阵，则的基础解系所含的解向量的个数是 . 3. 设，，线性相关，则 . 4. 设，则 . 5. 设三阶方阵有特征值4，5，6，则 ，的特征值为 ，的特征值为 . 三、计算题（共42分） 1. （6分）计算行列式 2. （8分）已知矩阵，求. 3. （10分）设三阶方阵满足 ，其中，，，求. 4．（6分）在向量空间中，取两组基： （I） （II） 设在基I下的坐标为，求在基在基II下的坐标. 5. （12分）取何值时，非齐次线性方程组 （1）有惟一解；（2）无解； （3）有无穷多解，并求其通解. 四、证明题（每小题5分，共10分） 1. 设为阶可逆阵，. 证明的伴随阵. 2. 若，都是阶非零矩阵，且. 证明和都是不可逆的. 《线性代数》模拟试题（一）参考答案 一、单项选择题（每题3分，共27分） 1. B 2. B 3. C 4. C 5. A 6. B 7. B 8. B 9. D 二、填空题（每空3分，共21分） 1. 无关； 2. 3 ； 3. 3 ； 4. ； 6. 120； 4，5，6； 三、计算题（7+10+10+12=39分） 1. 解： . 2. 解：先求的特征值， = ， 当时，由得，的对应于2的特征向量是， 当时，由得，的对应于的特征向量是， 当时，由得，的对应于的特征向量是， 取. 令 ，则，所以 . 3. 解：因为，所以 ， 因此 . 又，所以， 故 . 4．解：, 所以 ， 在基II下的坐标为. 5. 解：， （1）当，即且时，方程组有惟一解. （2）当时， 此时，方程组无解， （3）当时，， 此时，方程组有无限多个解.，并且通解为 . 四、证明题（5+5=10分） 1. 证：根据伴随矩阵的性质有 又，所以，再由于可逆，便有. 2. 证：假设可逆，即存在，以左乘的两边得，这与是阶非零矩阵矛盾；类似的，若可逆，即 《线性代数》模拟试题（二） 一、选择题（每小题4分，共20分） 1. 设是四维列向量，且，，则 （ ）. （A） （B） （C） （D）