随机变量及其分布x.ppt

性质：1.曲线关于x=?对称。 2.当x=?时取到最大值。 3.固定?,改变?，曲线沿Ox轴平移；固定?,改变? ，曲线变得越尖，因而X落在?附近的概率越大。 正态分布密度函数图示 正态分布分布函数图示 标准正态分布 　当?=0,?=1时称X服从标准正态分布，记为X～N(0,1)。其概率密度和分布函数分别用?(x),?(x)表示，即有 　显然?(-x)=1- ?(x) 另外，有?(x)的函数表可查。 [思考]　 设X～N(?,?2)，由?(x)的函数表得到： P{?-?<X<?+?}=?(1)-?(-1)=2?(1)-1=68.26﹪ P{?-2?<X<?+2?}=?(2)-?(-2)=2?(2)-1=95.44﹪ P{?-3?<X<?+3?}=?(3)-?(-3)=2?(3)-1=99.74﹪ 可见，服从正态分布的随机变量虽然取值在（-∞，+∞），但其值落在（ ?-3?，?+3?）内几乎是可以肯定的。 例13 将一温度调节器放置在存储着某种液体的容器内，调节器定在d℃，液体的温度X（以℃计）是一个随机变量，且X～N(d,0.52)。(1)若d=90，求X<89的概率；(2)若要求保持液体的温度至少为80的概率不低于0.99，问d至少为多少？ 为什么说正态分布是概率论中最重要的分布？ 　 正态分布表现为其取值具有对称性，极大部分取值集中在以对称点为中心的一个小区间内，只有少量取值落在区间外。在自然现象和社会现象中，大量随机变量都服从或近似服从正态分布。如人的身体特征指标(身高、体重)，学习成绩，产品的数量指标等等都服从正态分布。许多较复杂的指标，只要在受到的大量因素作用下每个因素的影响都不显著，且因素相互独立，也可认为近似服从正态分布。又如二项分布、泊松分布在n很大时，也以正态分布为极限分布。因此，可以说正态分布是最重要的分布。 返回 为什么要讨论随机变量函数的分布？ 　 在实际中，我们常对某些随机变量的函数更感兴趣。例如，在一些试验中，所关心的随机变量往往不能由直接测量得到，而它却是某个能直接测量的随机变量的函数。比如我们能测量圆轴截面的直径d，而关心的却是截面面积A＝?d2/4。这里，随机变量A是随机变量d的函数。我们将讨论如何由已知的随机变量X的概率分布去求得它的函数Y=g(X)(g(·)是已知的连续函数)的概率分布。 离散性随机变量函数的分布 　若X是离散型随机变量，其分布列为 则Y=g(x)仍为离散型随机变量，其分布列为 yi有相同值时，要合并为一项，对应的概率相加。 X y1=g( x1) y2=g( x2) … yn=g( xn) … pk p1 p2 … pn … X x1 x2 … xn … pk p1 p2 … pn … 例14 设随机变量X具有以下的分布律，试求y=(X一1)2 的分布律。 X -1 0 1 2 pk 0.2 0.3 0.1 0.4 Y 0 1 4 pk 0.1 0.7 0.2 解 Y所有可能的值为0,1,4。由 P{Y=0}=P{(X-1)2=0}=P{X=1}=0.1 P{Y=1}=P{X=0}+P{X=2}=0.7 P{Y=4}=P{X=-1}=0.2 即得Y得分布律为 例15 设随机变量X具有概率密度 求随机变量Y=2X+8的概率密度。 例16 设随机变量X具有概率密度fX(x),-∞<x<∞,求Y=X2的概率密度。 连续性随机变量函数的分布 　若X为连续型随即变量，概率密度为fX(x)，则Y=g(X)的概率密度有两种求法。 分布函数法：先求Y=g(X)的分布函数 连续性随机变量函数的分布 连续性随机变量函数的分布 返回 关于泊松分布 历史上普阿松分布是作为二项分布的近似，于1837年由法国数学家普阿松引入的，近数十年来，普阿松分布日益显示其重要性，成了概率论中最重要的几个分布之一。 在实际应用中许多随机现象服从普阿松分布。这种情况特别集中在两个领域中。一是社会生活，对服务的各种要求：诸如电话交换台中来到的呼叫数，公共汽车站来到的乘客数等等都近似地服从普阿松分布，因此在运筹学及管理科学中普阿松分布占有很突出的地位；另一领域是物理学，放射性分裂落到某