初等几何问题的向量解法+文献综述.docVIP

初等几何问题的向量解法+文献综述 摘要：向量是解决初等几何问题的重要工具，已广泛应用于我们的日常生活中.向量具有良好的直观性，表达的简洁性和处理问题的一般性，能够提高解决初等几何问题的能力和速度.本课题从用向量法解决平面几何与立体几何两个方面筛选典型例题进行整理和研究，从而体验向量方法解题的简洁性和优越性，以推广向量法解决初等几何问题.7185 关键词：向量；向量方法；初等几何；应用 Vector method of elementary geometry problems Abstract:Vector is an important tool to solve the problems of elementary geometry and has been widely used in our daily life.Expression vector has a goodvisual,simple and general to deal with problems,can improve the ability to slove the problems of elementary geometry and speed.this topic from the use of vector method to slove plane geometry and three-dimensional geometry in order and students about two aspect of screening of typical examples,to experience the simplicity and advantages of the vector method of problem solving ,to promote the vector method to solve the problem of elementary geometry. Keywords:Vector method of elementary geometry application 摘要1 引言2 1 向量的方法3 1.1向量的起源及发展3 1.2向量的方法3 1.3向量的重要知识3 2 向量在平面几何中的应用3 2.1利用向量法处理线线、点点之间的关系4 2.2用向量法处理平面几何中的度量问题8 立体几何的计算和证明主要到两大问题：首先是解答位置关系，即平行和垂直问题的求证；其次是度量问题，它通常涵盖距离及角度的求解.向量法的介入避免在图形中添加复杂的辅助线，重要的是建立适当的坐标系，标出相关点的坐标，运用向量的知识使得解决立体几何问题更加容易、简捷，其优点是可以使问题数量化、坐标化、符号化、简捷化. 向量的出现为解决初等几何问题开辟了新的方向，本课题主要参考文献[1],[4],[6],[13]，从平面几何和立体几何两个方面，解释了向量方法在解决初等几何问题中起着不可替代的作用. 1 向量的方法 1.1向量的起源及发展 向量首先应用与物理学，经过长时间的发展，才将向量引入解析几何中，并得到逐步完善，成为一套优良的数学工具. 1.2向量的方法 向量法，是指以向量作为工具，从所要求的条件入手，识别与向量相关的知识，并且转化成以向量为背景下的形式，并且借助向量的相关运算知识，回到原问题中达到解决问题的目的. 1.3向量的重要知识 向量的加法：计算两个向量和的计算，称为向量的加法. 运算律: + = + （交换律），（ + ）+ = +（ + ）（结合律） 向量的数乘运算 定义：一般地，我们定义实数 与向量 的积的这种运算为向量的数乘运算，记作：.其长度： = . ；其方向：当 lt;0时 与 的方向相反，当 =0时 = ，故 与 平行. 运算律： (u )=( u) ; ( +u) = +u ;( + )= + . 向量的坐标表示： =x +y =（x，y）； 向量的坐标运算及重要结论: 若 =（ ， ）， =（ ， ），则有： 2 向量在平面几何中的应用 分析 利用两个非零向量共线的充要条件来求证本题较简单 解因为 所以 2.1.3用向量法证明线线垂直 例 如下图所示，若平行四边形ABCD为菱形， 其中AC,BD为该菱形的对角线. 那么AC与BD互相垂直吗？ 证明 因为平行四边形ABCD为菱形 所以可以设 且 ，所以有 所以AC与BD互相垂直得证 2.1.4用向量法解释任意三角形的三条高线都交于一点 例 证明三角形的三条高线交于一点 . 证明 如图所示，设三角形ABC有AC、BC两边上的高交于 再设那么 因为 ,所以 即又因为 即从而 即所以 这就证明了点 在三角形 的第三条边 上 所以三角形 的三条高线