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3.3　二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题 3．3.1　二元一次不等式(组)与平面区域 一、基础达标 1．已知点(－3，－1)和(4，－6)分别在直线3x－2y－a＝0的两侧，则a的取值范围是(　　) A．(－24,7) B．(－7,24) C．(－∞，－7)(24，＋∞) D．(－∞，－24)(7，＋∞) 答案　B 解析　因为点(－3，－1)和(4，－6)分别在直线3x－2y－a＝0的两侧，所以[3×(－3)－2×(－1)－a]×[3×4－2×(－6)－a]<0，即(a＋7)(a－24)<0，解得－7<a<24，故选B. 2．不等式组表示的平面区域内整点的个数是(　　) A．2 B．4 C．6 D．8 答案　C 解析　画出可行域后，可按x＝0，x＝1，x＝2，x＝3分类代入检验，符合要求的点有(0,0)，(1,0)，(2,0)，(3,0)，(1,1)，(2,1)共6个． 3．直线2x＋y－10＝0与不等式组表示的平面区域的公共点有(　　) A．0个 B．1个 C．2个 D．无数个 答案　B 解析　画出可行域如图阴影部分所示． 直线过(5,0)点，故只有1个公共点(5,0)． 4．如图所示，表示满足不等式(x－y)(x＋2y－2)>0的点(x，y)所在的平面区域为(　　) 答案　B 解析　不等式(x－y)(x＋2y－2)>0等价于不等式组 () 或不等式组()分别画出不等式组()和()所表示的平面区域，再求并集，可得正确答案为B. 5．原点与点(1,1)有且仅有一个点在不等式2x－y＋a>0表示的平面区域内，则a的取值范围为________． 答案　－1<a≤0 解析　根据题意，分以下两种情况： 原点(0,0)在该区域内，点(1,1)不在该区域内．则.无解． 原点(0,0)不在该区域内，点(1,1)在该区域内，则，－1<a≤0. 综上所述，－1<a≤0. 6．不等式组表示的平面区域的形状为_____________________ ___________________________________________________． 答案　正方形 解析　如图所示的阴影部分，不等式组表示的平面区域是边长为的正方形． 7．某人准备投资1 200万兴办一所完全中学，对教育市场进行调查后，他得到了下面的数据表格(以班级为单位)： 学段 班级学生人数 配备教师数 硬件建设/万元 教师年薪/万元 初中 45 2 26/班 2/人 高中 40 3 54/班 2/人 因生源和环境等因素，办学规模以20到30个班为宜．分别用数学关系式和图形表示上述的限制条件． 解　设开设初中班x个，开设高中班y个，根据题意，总共招生班数应限制在20～30之间， 所以有20≤x＋y≤30.考虑到所投资金的限制，得到26x＋54y＋2×2x＋2×3y≤1 200. 即x＋2y≤40.另外，开设的班数不能为负，则x≥0，y≥0， 把上面的四个不等式合在一起，得到 用图形表示这个限制条件，得到如图的平面区域(阴影部分) 8．制订投资计划时，不仅要考虑可能获得的盈利，而且要考虑可能出现的亏损．某投资人打算投资甲、乙两个项目，根据预测，甲、乙项目可能的最大盈利率分别为100%和50%，可能的最大亏损率分别为30%和10%，若投资人计划投资金额不超过10万元，要求确保可能的资金亏损不超过1.8万元，列出投资人对甲、乙两个项目投资数的数学关系式，并画出相应的平面区域． 解　设投资人分别用x万元、y万元投资甲、乙两个项目， 由题意知 上述不等式组表示的平面区域如图所示的阴影部分(含边界)． 二、能力提升 9．(2013·山东)在平面直角坐标系xOy中，M为不等式组所表示的区域上一动点，则直线OM斜率的最小值为(　　) A．2 B．1 C．－ D．－ 答案　C 解析　作出可行域如图，由图象可知当M位于点D处时， OM的斜率最小．由 得， 即D(3，－1)，此时OM的斜率为＝－，选C. 10．若点P(m,3)到直线4x－3y＋1＝0的距离为4，且点P在不等式2x＋y－3<0表示的平面区域内，则实数m的值为________． 答案　－3 解析　由点P(m,3)到直线4x－3y＋1＝0的距离d＝＝4，得m＝7或m＝－3.又点P在不等式2x＋y－3<0表示的平面区域内，当m＝－3时，点P的坐标为(－3,3)，则2×(－3)＋3－3<0，符合题意；当m＝7时，点P的坐标为(7,3)，则2×7＋3－3>0，不符合题意，舍去．综上，m＝－3. 11．(2013·大纲版)记不等式组所表示的平面区域为D，若直线y＝a(x＋1)与D有公共点，则a的取值范围是________． 答案　 解析　满足约束条件的平面区域如图示： 因为y＝a(x＋1)过定点(－1,0)．