线性代数第二章习题部分答案本.docVIP

第二章 向量组的线性相关性 §2-1 §2-2维向量线性相关与线性无关 填空题 设, 其中, 则 . 设 则线性组合 . 设矩阵，设为矩阵的第个列向量， 则 . 试确定下列向量组的线性相关性 则 即 ，线性无关。 线性相关 三、设有向量组 ，问取何值时该向量组线性相关。 则 即若方程组有非零解，则线性相关，否则，线性无关。 要使方程组有非零解，, 线性相关; , 线性无关 四、设线性无关，线性相关，求向量用线性表示的表示式。 解：因为线性相关，所以存在不全为零的，，使得 即+b=.又因为线性无关，所以+，于是，b=. 五、已知向量组，令，求证向量组线性相关。 ， 所以，向量组线性相关。 §2-2线性相关与线性无关 设线性相关，线性相关，问是否一定线性相关？并举例说明之。 解：取,. 线性相关。 取,. 线性无关。 二、举例说明下列各命题是错误的： 1．若向量组是线性相关的，则可由线性表示。 解：取. 2．若有不全为0的数,使 成立，则是线性相关，是线性相关. 解：取,. 3． 若只有当全为0时，等式 才能成立，则是线性无关，是线性无关。 解：取,. 4．若是线性相关，是线性相关，则有不全为0的数，使 同时成立。 解：取,. 设向量组线性相关，且,证明存在某个向量)，使能由线性表示。 证明：因为向量组线性相关，所以存在不全为零的，，使得。设，，中最后一个不为零的数是，即，，又因为，所以，。即有)，使得，于是， ， 命题得证。 已知, 证明：（1）能由线性表示。（2）不能由线性表示。 证明：（1）因为，所以线性无关，由定理1知也线性无关；又因为，所以，线性相关，由定理3得能由线性表示。 （2）反证法。假设能由线性表示。再利用（1）的结果，可推出能由线性表示，由定理2得线性相关，与矛盾。所以，不能由线性表示。 设,,，且向量线性无关，证明向量组线性无关。 证明：设 ，则 而向量线性无关，所以， 所以，向量组线性无关。 §2-3 极大无关组 证明n阶单位矩阵的秩为n. n阶单位矩阵, 设, 则 所以，线性无关，秩为nn阶单位矩阵的秩为n. 设矩阵其中则. 设矩阵 设, 则 所以，线性无关，秩为n. 求下列向量组的秩 R=3 解：A=()= 所以，R ()=2, 为极大无关组。 设是一组维向量，已知维单位坐标向量能由它们线性表示，证明线性无关。 证明：因为维单位坐标向量能由线性表示，所以，，而，，所以，于是，线性无关。 设是一组维向量，证明它们线性无关的充分必要条件是：任一维向量都可由它们线性表示。 证明：充分性：如果任一维向量都可由线性表示，则维单位坐标向量能由线性表示，利用上一题的结果，线性无关。 必要性：如果线性无关，对于任一维向量. 如果,则，所以，向量能由线性表示。 如果，则这n+1个n维向量线性相关，而线性无关，由定理3得向量能由线性表示。 （另证：如果线性无关，而的维数是n，所以为的一组基，所以中的一维向量都可由它们线性表示。） §2-3 极大无关组 设为同阶矩阵，求证 证明：设A的列向量组为，极大无关组为；B的列向量组为，极大无关组为. 则A+B的列向量组为能由(A,B)的列向量组线性表示，所以，. 又(A,B)的列向量组能由线性表示，所以， . 二、设向量组能由向量组线性表示 其中为矩阵，且线性无关。证明线性无关的充分必要条件是矩阵的秩为. 证明： 必要性. 已知线性无关. 则, 设矩阵 矩阵，则B=AK，所以，r=，得. 充分性. 已知，则K的列向量组线性无关。 设 线性无关。 三、设 证明：向量组与向量组等价。 证明：因为 所以，向量组可以由向量组线性表示。 把 各式相加后得 可得 所以，向量组可以由向量组线性表示。 由上，向量组与向量组等价。 四、已知3阶矩阵与3维列向量满足，且向量组线性无关，记，求3阶矩阵使. 解：设， A 由向量组线性无关得. §2-4§2-5 向量空间 一、设, , , 问是不是向量空间，为什么？ 是，不是，是 验证： 为的一个基, 并把 用这个基线性表示. ()= 所以，. 证明中不存在n+1个线性无关的向量中不存在n+1个 证明：因为的维数是n，所以中不存在n+1个线性无关的向量 又因为两两正交的非零向量必是线性无关的，所以，中不存在n+1个 四、把下列向量组规范正交化 ; ; ; 所以， . 六、证明下列各题 为维列向量，且,求证：是对称的正交阵。 设为同阶正交阵，证明：也是正交阵。 (1) ，H对称； ，H正交。 (2)因为为同阶正交阵，于是， ，所以，也是正交阵。