函数极限的描述性定义.ppt

* 第四节 函数的极限 函数的极限 函数极限的唯一性 函数极限的局部有界性 函数极限的局部保号性（定理1、定理2） 函数极限与数列极限的关系 函数的自变量的变化过程可分为两种情况： （1）自变量 无限接近有限值 表示为 （2）自变量 的绝对值 无限增大， 表示为 在自变量的某个变化过程中， 若对应的函数值无限接近于 某个确定的常数， 那么，这个确定的常数就叫做这一变化过 程中函数的极限。 函数极限的描述性定义。 一、基本理论 x y O A 。 函数极限的ε-δ定义: 注1: 注3: 注2: 几何解释： x y O A 。 f(x)局部有界。 此式表明 f(x)在 内既有上界， 又有下界，即: 2. 极限的局部保号性 定理1: 由定理1 定理1’: 定理2: 问题：比较定理1、2，注意“＞”和“≥”，为什么？ 3. 左、右极限，函数极限存在的充分必要条件 左、右极限： 左、右极限的ε-δ定义: 左极限： 右极限： 注：定理3经常用于判断极限不存在的情况。 极限存在的充要条件(38题) 定理3： 4. 时函数 的极限 函数极限ε—X定义： ----描述性定义。 单边极限的定义: 的水平渐近线。 水平渐近线: 的图形 -1 1 定理: 证 （必要性） 则 即 ①当 ②当 即 （充分性） 则 取 则只要 恒有 6. 数列极限与函数极限之间的关系 若 存在，必有 存在。 反之，若 不存在， 一定不存在。 数列是以正整数集为定义域的函数，即 因此数列的极限 可以看成是函数 当 自变量取正整数n，并趋于正无穷大时的极限。 （1） （2）无论是数列极限还是函数极限，若存在，必唯一。 （3）收敛数列的有界性是整体概念，即若 存在，则对 而对于函数 存在，则只能推得函数在 的某个 邻域有界，即 证 例1 用定义证明 二、例题 用极限的定义证明 函数的极限，关键 是找到 P3 难找， 对不等式 适当放大 即 取 则当 有 注：用定义证明函数极限 的步骤 ③取 ① 由不等式 经一系列地放大可得： （其中C为常数） ② 解不等式 得 则当 时，总有 即 例3 证明：当 时， 证: 对于 由于 要使 只要 即 为保证 有定义，用 来限制。 取 则当 时， 所以 * * *