高中数学-第3章-三角恒等变换-3.2-简单的三角恒等变换学案-新人教A版必修4.doc

3.2　简单的三角恒等变换 1.能用二倍角公式导出半角公式，体会其中的三角恒等变换的基本思想方法，以及进行简单的应用.(重点) 2.了解三角恒等变换的特点、变换技巧，掌握三角恒等变换的基本思想方法，能利用三角恒等变换对三角函数式化简、求值以及三角恒等式的证明和一些简单的应用.(难点、易错点) [基础·初探] 教材整理　半角公式 阅读教材P139～P140例2以上内容，完成下列问题. sin＝± ， cos＝± ， tan＝± ， tan＝＝＝， tan＝＝＝. 判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)cos ＝.(　　) (2)存在αR，使得cos ＝cos α.(　　) (3)对于任意αR，sin ＝sin α都不成立.(　　) (4)若α是第一象限角，则tan ＝.(　　) 【解析】　(1)×.只有当－＋2kπ≤≤＋2kπ(kZ)，即－π＋4kπ≤α≤π＋4kπ(kZ)时，cos ＝. (2)√.当cos α＝－＋1时，上式成立，但一般情况下不成立. (3)×.当α＝2kπ(kZ)时，上式成立，但一般情况下不成立. (4)√.若α是第一象限角，则是第一、三象限角，此时tan ＝成立. 【答案】　(1)×　(2)√　(3)×　(4)√ [小组合作型]化简求值问题　(1)已知cos θ＝－，且180°θ270°，求tan ； (2)化简：(180°α360°). 【精彩点拨】　(1)cos θ＝－→tan ＝ ±→tan 的值； cos θ＝－→tan ＝→tan 的值. 对于(1)的思考要注意符号的选择. (2)化α为，消去数值1，再升幂判断的范围，然后化简得结论. 【自主解答】　(1)法一：180°θ270°，90°135°，即是第二象限角，tan 0， tan ＝－＝－＝－2. 法二：180°θ270°，即θ是第三象限角， sin θ＝－＝－＝－， tan ＝＝＝－2. (2)原式 ＝ ＝ ＝. 180°α360°，90°180°，cos 0， 原式＝＝cos α. 1.解决给值求值问题的方法及思路 (1)给值求值问题，其关键是找出已知式与欲求式之间的角、运算及函数的差异，经过适当变换已知式或变换欲求式解题. (2)给值求值的重要思想是建立已知式与欲求式之间的联系，应注意“配角”方法的应用. 2.三角函数化简的思路及原则： (1)在应用和差化积公式时，必须是一次同名三角函数方可施行，若是异名，必须用诱导公式化为同名；若是高次函数，必须用降幂公式降为一次. (2)根据实际问题选用公式时，应从以下几个方面加以考虑： 运用公式之后能否出现特殊角； 运用公式之后能否进行提取公因式，能否约分，能否合并或消项； 运用公式之后能否使三角函数式结构更加简单，各种关系更加明显，从而为下一步选用公式进行变换创造条件. (3)对于三角函数的和差化积，有时因为使用公式不同，或选择题的思路不同，化积结果可能不一致. [再练一题] 1.(1)已知sin α＝，cos α＝，则tan 等于(　　) A.2－ B.2＋ C.－2 D.±(－2) (2)已知πα，化简： ＋. 【导学号 【解析】　(1)因为sin α＝0，cos α＝0， 所以α的终边落在第一象限，的终边落在第一、三象限， 所以tan 0，故tan ＝ ＝＝－2. 【答案】　C (2)原式＝ ＋. ∵πα，，cos 0，sin 0， 原式＝＋ ＝－＋ ＝－cos . 三角恒等式的证明 　(1)求证：1＋2cos2θ－cos 2θ＝2； (2)求证： ＝. 【精彩点拨】　(1)可由左向右证：先把左边cos2 θ降幂化为同角后整理可证. (2)可先从左边表达式分母中升幂缩角入手，再通过改变函数结构向右边转化. 【自主解答】　(1)左边＝1＋2cos2θ－cos 2θ＝1＋2×－cos 2θ＝2＝右边. 所以原等式成立. (2)左边＝ ＝＝ ＝＝＝＝右边. 所以原等式成立. 三角恒等式证明的五种常用方法： (1)执因索果法：证明的形式一般化繁为简. (2)左右归一法：证明左右两边都等于同一个式子. (3)拼凑法：针对题设和结论之间的差异，有针对性地变形，以消除它们之间的差异，简言之，即化异求同. (4)比较法：设法证明“左边－右边＝0”或“＝1”. (5)分析法：从被证明的等式出发，逐步探求使等式成立的条件，一直到已知条件或明显的事实为止，就可以断定原等式成立. [再练一题] 2.求证：＝1－. 【证明】　法一：左边 ＝ ＝＝1－ ＝1－＝右边， 原等式成立. 法二：右边＝1－ ＝ ＝ ＝＝左边， 原等式成立.三角函数在实际问题中的应用　如图3-2-1所示，要把半径为R的半圆形木料截成长方形，应怎样截取，才能使OAB的周长最大？ 图3-2-1 【精彩点拨】　→→