高中数学-第3章-三角恒等变换-3.2-简单的三角恒等变换学业分层测评-新人教A版必修4.doc

3.2 简单的三角恒等变换 (建议用时：45分钟) [学业达标] 一、选择题 1．若函数f(x)＝－sin2 x＋(xR)，则f(x)是(　　) A．最小正周期为的奇函数 B．最小正周期为π的奇函数 C．最小正周期为2π的偶函数 D．最小正周期为π的偶函数 【解析】　f(x)＝－＋＝cos 2x.故选D． 【答案】　D 2．若sin(π－α)＝－且α，则sin等于(　　) A．－　　　　　　 B．－ C． D． 【解析】　由题意知sin α＝－，α， cos α＝－. ∵∈， sin＝cos ＝－＝－.故选B． 【答案】　B 3．设a＝cos 7°＋sin 7°，b＝，c＝，则有(　　) 【导学号 A．bac B．abc C．acb D．cba 【解析】　a＝sin 37°，b＝tan 38°，c＝sin 36°，由于tan 38°sin 38°sin 37°sin 36°，所以bac.故选A． 【答案】　A 4．若sin(α＋β)cos β－cos(α＋β)sin β＝0，则sin(α＋2β)＋sin(α－2β)等于(　　) A．1 B．－1 C．0 D．±1 【解析】　sin(α＋β)cos β－cos(α＋β)sin β ＝sin(α＋β－β)＝sin α＝0， sin(α＋2β)＋sin(α－2β) ＝2sin αcos 2β＝0. 【答案】　C 5．若函数f(x)＝(1＋tan x)cos x,0≤x，则f(x)的最大值是(　　) A．1 B．2 C．＋1 D．＋2 【解析】　f(x)＝(1＋tan x)cos x ＝cos x＝sin x＋cos x ＝2sin. ∵0≤x， ≤x＋π， 当x＋＝时， f(x)取到最大值2. 【答案】　B 二、填空题 6．若θ是第二象限角，且25sin2 θ＋sin θ－24＝0，则cos ＝________. 【解析】　由25sin2 θ＋sin θ－24＝0， 又θ是第二象限角， 得sin θ＝或sin θ＝－1(舍去)． 故cos θ＝－＝－， 由cos2 ＝得cos2 ＝. 又是第一、三象限角， 所以cos ＝±. 【答案】　± 7.－＝________. 【解析】　原式＝ ＝ ＝＝4. 【答案】　4 三、解答题 8．已知2sin＝sin θ＋cos θ，2sin2β＝sin 2θ，求证：sin 2α＋cos 2β＝0. 【证明】　2sin＝sin θ＋cos θ， (sin α＋cos α)＝sin θ＋cos θ， 两边平方得2(1＋sin 2α)＝1＋sin 2θ， sin 2θ＝1＋2sin 2α. 又sin 2θ＝2sin2β， sin 2θ＝1－cos 2β， 1－cos 2β＝1＋2sin 2α， 2sin 2α＋cos 2β＝0， sin 2α＋cos 2β＝0. 9．设函数f(x)＝2cos2ωx＋sin＋a(其中ω0，aR)，且f(x)的图象在y轴右侧的第一个最高点的横坐标为. (1)求ω的值； (2)设f(x)在区间上的最小值为，求a的值. 【导学号 【解】　f(x)＝1＋cos 2ωx＋sin 2ωx－cos 2ωx＋a＝sin＋a＋1. (1)由2ωx＋＝2kπ＋(kZ)， 得ωx＝kπ＋(kZ)． 又ω0， 当k＝0时，f(x)的图象在y轴右侧的第一个最高点的横坐标为x＝＝，故ω＝1. (2)由(1)知f(x)＝sin＋a＋1， 由≤x≤，得≤2x≤π，≤2x＋≤， 当2x＋＝，即x＝时， f(x)取得最小值为＋a＋1. 由＋a＋1＝，得a＝－. [能力提升] 1．已知450°α540°，则的值是(　　) A．－sin B．cos C．sin D．－cos 【解析】　因为450°α540°， 所以225°270°， 所以cos α0，sin 0， 所以原式＝ ＝ ＝＝ ＝＝＝－sin .故选A． 【答案】　A 2．已知函数f(x)＝2cos2 ，g(x)＝2. (1)求证：f＝g(x)； (2)求函数h(x)＝f(x)－g(x)(x[0，π])的单调区间，并求使h(x)取到最小值时x的值． 【解】　(1)证明：f(x)＝2cos2 ＝1＋cos x， g(x)＝2 ＝1＋2sin cos ＝1＋sin x. f＝1＋cos＝1＋sin x， f＝g(x)，命题得证． (2)函数h(x)＝f(x)－g(x)＝cos x－sin x ＝ ＝cos. x∈[0，π]， ≤x＋≤， 当≤x＋≤π，即0≤x≤时，h(x)递减， 当π≤x＋≤，即≤x≤π时， h(x)递增． 函数h(x)的单调递减区间为， 单调递增区间为， 根据函数h(x)的单调性， 可知当x＝时， 函数h(x)取到最小