高中数学-第3章-三角恒等变换-3.1.3-二倍角的正弦、余弦、正切公式学案-新人教A版必修4.doc

3.1.3　二倍角的正弦、余弦、正切公式 1.能利用两角和与差的正、余弦公式推导出两角和与差的正切公式.(重点) 2.能利用两角和与差的正切公式进行化简、求值、证明.(难点) 3.熟悉两角和与差的正切公式的常见变形，并能灵活应用.(易错点) [基础·初探] 教材整理　二倍角的正弦、余弦、正切公式 阅读教材P132～P133例5以上内容，完成下列问题. 1.二倍角的正弦、余弦、正切公式 记法 公式 S2α sin 2α＝2sin αcos α C2α cos 2α＝cos2α－sin2α T2α tan 2α＝ 2.余弦的二倍角公式的变形 3.正弦的二倍角公式的变形 (1)sin αcos α＝sin 2α，cos α＝. (2)1±sin 2α＝(sin α±cos α)2. 1.判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)二倍角的正弦、余弦、正切公式的适用范围是任意角.(　　) (2)存在角α，使得sin 2α＝2sin α成立.(　　) (3)对于任意的角α，cos 2α＝2cos α都不成立.(　　) 【解析】　(1)×.二倍角的正弦、余弦公式对任意角都是适用的，而二倍角的正切公式，要求α≠＋kπ(kZ)且α≠±＋kπ(kZ)，故此说法错误. (2)√.当α＝kπ(kZ)时，sin 2α＝2sin α. (3)×.当cos α＝时，cos 2α＝2cos α. 【答案】　(1)×　(2)√　(3)× 2.已知cos α＝，则cos 2α等于________. 【解析】　由cos α＝，得cos 2α＝2cos2α－1＝2×2－1＝－. 【答案】　－ [小组合作型]利用二倍角公式化简三角函数式　化简求值. (1)cos4 －sin4 ； (2)sin ·cos ·cos ； (3)1－2sin2 750°； (4)tan 150°＋. 【精彩点拨】　灵活运用倍角公式转化为特殊角或产生相消项，然后求得. 【自主解答】　(1)cos4 －sin4 ＝ ＝cos α. (2)原式＝·cos ＝sin ·cos ＝ ＝sin ＝. ∴原式＝. (3)原式＝cos(2×750°)＝cos 1 500° ＝cos(4×360°＋60°)＝cos 60°＝. ∴原式＝. (4)原式＝ ＝＝ ＝＝ ＝－＝－. 原式＝－. 二倍角公式的灵活运用： (1)公式的逆用：逆用公式，这种在原有基础上的变通是创新意识的体现.主要形式有： 2sin αcos α＝sin 2α，sin αcos α＝sin 2α， cos α＝，cos2 α－sin2 α＝cos 2α，＝tan 2α. (2)公式的变形：公式间有着密切的联系，这就要求思考时要融会贯通，有目的地活用公式.主要形式有： 1±sin 2α＝sin2 α＋cos2 α±2sin αcos α＝(sin α±cos α)2，1＋cos 2α＝2cos2 α，cos2 α＝，sin2 α＝. [再练一题] 1.求下列各式的值： (1)sin cos ； (2)； (3)－； (4)cos 20°cos 40°cos 80°. 【解】　(1)原式＝＝＝. (2)原式＝tan(2×150°)＝tan 300°＝tan(360°－60°) ＝－tan 60°＝－. (3)原式＝＝ ＝ ＝＝4. (4)原式＝ ＝ ＝＝＝.利用二倍角公式解决求值问题　(1)已知sin α＝3cos α，那么tan 2α的值为(　　) A.2　　　　　　　 B.－2 C. D.－ (2)已知sin＝，则cos的值等于(　　) A. B. C.－ D.－ (3)已知cos α＝－，sin β＝，α是第三象限角，β∈. ①求sin 2α的值；求cos(2α＋β)的值. 【精彩点拨】　(1)可先求tan α，再求tan 2α； (2)可利用π－2α＝2及－α＝－求值； (3)可先求sin 2α，cos 2α，cos β，再利用两角和的余弦公式求cos(2α＋β). 【自主解答】　(1)因为sin α＝3cos α， 所以tan α＝3， 所以tan 2α＝＝＝－. (2)因为cos＝sin ＝sin＝， 所以cos＝2cos2－1 ＝2×2－1＝－. 【答案】　(1)D　(2)C (3)①因为α是第三象限角，cos α＝－， 所以sin α＝－＝－， 所以sin 2α＝2sin αcos α＝2××＝. 因为β，sin β＝， 所以cos β＝－＝－， cos 2α＝2cos2 α－1＝2×－1＝， 所以cos(2α＋β)＝cos 2αcos β－sin 2αsin β＝×－×＝－. 直接应用二倍角公式求值的三种类型 (1)sin α(或cos α)cos α(或sin α)sin 2α(或cos 2α). (2