高中数学-第3章-三角恒等变换-3.1.1-两角差的余弦公式学案-新人教A版必修4.doc

3.1.1　两角差的余弦公式 1.了解两角差的余弦公式的推导过程.(重点) 2.理解用向量法导出公式的主要步骤.(难点) 3.熟记两角差的余弦公式的形式及符号特征，并能利用该公式进行求值、计算.(重点、易混点) [基础·初探] 教材整理　两角差的余弦公式 阅读教材P124～P126例1以上内容，完成下列问题. cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β. (1)适用条件：公式中的角α，β都是任意角. (2)公式结构：公式右端的两部分为同名三角函数积，连接符号与左边角的连接符号相反. 判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)cos(60°－30°)＝cos 60°－cos 30°.(　　) (2)对于任意实数α，β，cos(α－β)＝cos α－cos β都不成立.(　　) (3)对任意α，βR，cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β都成立.(　　) (4)cos 30°cos 120°＋sin 30°sin 120°＝0.(　　) 【解析】　(1)×.cos(60°－30°)＝cos 30°≠cos 60°－cos 30°. (2)×.当α＝－45°，β＝45°时，cos(α－β)＝cos(－45°－45°)＝cos(－90°)＝0，cos α－cos β＝cos(－45°)－cos 45°＝0，此时cos(α－β)＝cos α－cos β. (3)√.结论为两角差的余弦公式. (4)√.cos 30°cos 120°＋sin 30°sin 120°＝cos(120°－30°)＝cos 90°＝0. 【答案】　(1)×　(2)×　(3)√　(4)√ [小组合作型]利用两角差的余弦公式化简求值　(1)cos 345°的值等于(　　) A.　　　　　　 B. C. D.－ (2)的值是(　　) A. B. C. D. (3)化简下列各式： cos(θ＋21°)cos(θ－24°)＋sin(θ＋21°)·sin(θ－24°)； －sin 167°·sin 223°＋sin 257°·sin 313°. 【精彩点拨】　(1)求非特殊角的三角函数值，把非特殊角转化为两个特殊角的差，然后利用两角差的余弦公式求解. (2)两特殊角之差的余弦值，利用两角差的余弦公式直接展开求解. (3)对较复杂的式子化简时应注意两角差余弦公式的逆用. 【自主解答】　(1)cos 345°＝cos(360°－15°) ＝cos 15°＝cos(45°－30°) ＝cos 45°cos 30°＋sin 45°sin 30° ＝. (2)原式＝ ＝ ＝＝＝. (3)①原式＝cos[θ＋21°－(θ－24°)] ＝cos 45°＝，所以原式＝； 原式＝－sin(180°－13°)sin(180°＋43°)＋sin(180°＋77°)·sin(360°－47°) ＝sin 13°sin 43°＋sin 77°sin 47° ＝sin 13°sin 43°＋cos 13°cos 43° ＝cos(13°－43°)＝cos(－30°)＝. 【答案】　(1)C　(2)C　(3)①　 1.解含非特殊角的三角函数式的求值问题的一般思路是： (1)把非特殊角转化为特殊角的和或差，正用公式直接求值. (2)在转化过程中，充分利用诱导公式，构造两角差的余弦公式的结构形式，然后逆用公式求值. 2.两角差的余弦公式的结构特点： (1)同名函数相乘：即两角余弦乘余弦，正弦乘正弦. (2)把所得的积相加. [再练一题] 1.求下列各式的值： (1)cos ； (2)sin 460°sin(－160°)＋cos 560°cos(－280°)； (3)cos(α－20°)cos(40°＋α)＋sin(α－20°)sin(40°＋α). 【解】　(1)cos ＝cos＝－cos ＝－cos＝－cos ＝－ ＝－＝－. (2)原式＝－sin 100°sin 160°＋cos 200°cos 280° ＝－sin 100°sin 20°－cos 20°cos 80° ＝－(cos 80°cos 20°＋sin 80°sin 20°) ＝－cos 60°＝－. (3)cos(α－20°)cos(40°＋α)＋sin(α－20°)·sin(40°＋α) ＝cos[(α－20°)－(α＋40°)] ＝cos(－60°)＝.已知三角函数值求角　已知α，β为锐角，cos α＝，sin(α＋β)＝，求β. 【导学号 【精彩点拨】　本题是已知三角函数值求角的问题.解答此类问题一般先确定所求角的某一个三角函数的值，然后由角的范围来确定该角的大小. 【自主解答】　α为锐角，且cos α＝， sin α＝＝＝. 又α，β为锐角，α＋β(0，π).