高等数学B（林业大学）第五节 平面及其方程.PPTVIP

一、平面的点法式方程 二、平面的一般方程 三、两平面的夹角 四、小结 思考题1 平面及其方程 如何确定平面的法向量? 解答 确定平面的法向量是建立平面方程的关键 所在, 平面法向量的确定要根据不同的条件采用 不同的方法: (1) 如果已知点M0(x0, y0, z0)在平面Π 上的垂足 为M1(x1, y1, z1),则 (2) 如果平面Π 与已知平面 平行,则 (3) 如果平面Π 过三点 A, B, C,则 思考题2 (是非题) 平面及其方程 非 平面 在x、y、z 轴的截距 分别是a 、b、c. 因为这是一过原点的平面. 第五节 平面及其方程 平面的点法式方程 平面的一般方程 两平面的夹角 (plane) 点到平面的距离 在空间内,确定一个平面的几何条件 是多种多样的. 如: 点法确定、 相交两直线确定等. 不共线的三点确定、 平面及其方程 如果一非零向量垂直于 法线向量的特征： 垂直于平面内的任一向量. 已知 设平面上的任一点为 必有 一块平面可以有许多法向量. 一平面, 这向量就叫做该平面 的 法线向量 (法向量). 平面及其方程 平面的点法式方程 平面称为方程的图形. 平面上的点都满足上方程, 不在平面上的 点都不满足上方程, 上方程称为平面的方程, 平面及其方程 解 取 平面方程为 化简得 平面的点法式方程 例 平面方程. 法一 平面及其方程 平面方程. 解 所求方程的三点式为 平面方程为 法二 平面及其方程 平面的点法式方程 平面的一般方程 法向量 任意一个形如上式 的x、y、z的三元一次 方程都是平面方程. 平面及其方程 平面一般方程的几种特殊情况 平面通过坐标原点； 平面通过 轴； 平面平行于 轴； 平面平行于xOy 坐标面； 类似地可讨论 类似地可讨论 轴 轴 xOz面 yOz面 (由柱面可知) 平面的一般方程 平面及其方程 设平面为 将三点坐标代入得 解 平面及其方程 例 设平面与x, y, z 三轴分别交于 求此平面方程. 平面的截距式方程 今后,由截距式方程作平面的图形特别方便! 当平面不与任何坐标面平行,且不过原点时,才有截距式方程. 并作图. 化为截距式方程, 平面及其方程 平面的截距式方程 设平面过点 及x轴,求其方程. 用平面的点法式方程. 由点法式方程得平面方程: 求法向量 解 法一 即 平面及其方程 用待定常数法. 设平面过点 及x轴, 求其方程. 即 法二 设平面方程是 从而平面方程是 即 从而平面方程是 得 平面及其方程 点(0,0,0)及(1,0,0)在平面上, 易知平面上三点 O(0,0,0), P(1,0,0), 设M(x,y,z)为平面上的任意一点, 可得其方程 法三 平面及其方程 设平面过点 及x轴, 求其方程. 根据三向量 OM, 共面的充要条件,有 OM0, OP 即 求平面方程常用两种方法: 利用条件定出其中的待定的常数, 此方法也称待定常数法. 主要是利用条件用向量代数的方法找出平面的一个法向量. (1) 用平面的点法式方程. (2) 用平面的一般方程. 平面及其方程 定义 （通常取锐角） 两平面法向量的夹角称为 平面及其方程 两平面的夹角. 按照两向量夹角余弦公式有 两平面夹角余弦公式 两平面位置特征： // 两平面垂直、平行的充要条件 平面及其方程 取锐角 例 研究以下各组里两平面的位置关系: 解 两平面相交, 夹角 平面及其方程 两平面平行但不重合. 两平面平行 两平面重合 解 解 两平面平行 平面及其方程 例 解 所求方程的三点式为 三点的平面方程为 设两平面的交角为 则 平面及其方程 设平面为 所求平面方程为 解 平面及其方程 例 1996考研数学(一), 3分 与平面 垂直且过原点及点 的平面方程为( ). ) , , ( C B A = 平面及其方程 与平面 垂直且过原点及点 的平面方程为( ). 解 ∥ 平面的点法式方程 1996考研数学(一), 3分 设所求平面为 由所求平面与已知平面平行