高等数学B（林业大学）第四节 多元复合函数的求导法则.PPTVIP

* 复合函数的求导法则 全微分形式不变性 第四节 多元复合函数的  求导法则 * 一、复合函数的求导法则(链导法则) 1. 的情形. 定理 且 其导数可用下列公式计算: 多元复合函数的求导法则 具有连续偏导数, * 可微 由于函数 有连续偏导数 证 * 复合函数的中间变量多于两个的情况. 定理推广 导数 变量树图 称为 全导数 (又称链导公式). 多元复合函数的求导法则 * 项数 问: 每一项 中间变量 函数对中间变量的偏导数 该中间变量对其指定自变量的偏导数(或导数). 的个数. 函数对某自变量的偏导数之结构 多元复合函数的求导法则 * 例 设 求 这是幂指函数的导数, 但用全导数公式较简便. 法二 y u v x 解 法一 可用取对数求导法计算. 多元复合函数的求导法则 * 多元复合函数的求导法则 复合函数为 则复合函数 偏导数存在, 且可用下列公式计算 两个中间变量 两个自变量 具有连续偏导数, 2. 的情形. . y v v z y u u z y z ? ? ? ? + ? ? ? ? = ? ? * 变量树图 u v 多元复合函数的求导法则 )] , ( ), , ( [ y x y x f z y j = * 解 多元复合函数的求导法则 例 * 中间变量多于两个的情形 类似地再推广, 复合函数 在对应点 的两个偏导数存在, 且可用下列公式计算: 三个中间变量两个自变量 多元复合函数的求导法则 * 例 设 解 自己画变量树 求 多元复合函数的求导法则 * 即 两者的区别 区别类似 3. 的情形. 把复合函数 中的y 看作不变而对x的偏导数 把 中的u及y 看作不变 而对x的偏导数 * 解 z u x y x y 变量树图 例 多元复合函数的求导法则 求 而 , ), sin( xy u y x e z u = + = ) cos( y x e u + + * 例 设 f具有二阶连续偏导数, 变量树图 u r s x t 或记 u对中间变量 r,s 的偏导数 注 从而也是自变量x, t 的复合函数. 解 仍是r, s 的函数, 对抽象函数在求偏导数时, 一定要设中间变量. 多元复合函数的求导法则 , 1 f r f ￠ = ? ? 2 f s f ￠ = ? ? , r f ? ? s f ? ? * u r s x t 变量树图 设 f具有二阶连续偏导数, 多元复合函数的求导法则 * u r s x t 变量树图 设 f具有二阶连续偏导数, 多元复合函数的求导法则 s r f ? ? ? 2 * 多元复合函数的求导法则 解 具有二阶连续偏导数, 且满足 2003年考研数学三, 8分 故 ) , ( v u f * 已知f(t)可微,证明 满足方程 提示 t, y 为中间变量, x, y 为自变量. 引入中间变量, 则 多元复合函数的求导法则 * 二、全微分形式不变性 具有连续偏导数, 则有 全微分 则有全微分 全微分形式不变性的实质 多元复合函数的求导法则 * 解 例 通过全微分求所有一阶偏导数,比链导法则求偏导数有时会显得灵活方便. 多元复合函数的求导法则 * 1994年研究生考题,计算,3分 答案： 多元复合函数的求导法则 * 1989年研究生考题,计算,5分 解 多元复合函数的求导法则 * 1990年研究生考题,计算,5分 解 设 多元复合函数的求导法则 有连续的二阶导数, ) , ( ), sin , 2 ( v u f x y y x f z 其中 设 - = * 1992年研究生考题,计算,5分 解 设 多元复合函数的求导法则 连续的二阶导数, 有 其中 设 ) , ( ), , sin ( 2 2 v u f y x y e f z x + = y e f x vu cos ( ￠ ￠ * 求 在点(1,1)处可微,且 设函数 解 2001年考研数学一, 6分 多元复合函数的求导法则 由题设 * 多元复合函数求导法则 (链导法则) 全微分形式不变性 (理解其实质) 多元复合函数的求导法则 三、小结 (大体分三种情况) 求抽象函数的二阶偏导数特别注意混合偏导 * 思考题 多元复合函数的求导法则 正确的是( ). *